5. för trigonometriska funktioner

För de trigonometriska funktionerna gäller

\(\int \sin x \mathrm{ d}x = -\cos x + C\) och
\(\int \cos x \mathrm{ d}x = \sin x + C\).

Detta eftersom \(D(-\cos x) = -D\cos x = -(-\sin x)=\sin x\) och \(D\sin x = \cos x\).

Exempel 1 Bestäm den primitiva funktionen för \(f(x)=2\cos x -\sin x\).

Lösning

\(\begin{array}{rcl} F(x)&=&\displaystyle\int 2\cos x -\sin x \mathrm{ d}x \\ &=& 2\sin x -(-\cos x) + C \\ &=& 2\sin x +\cos x +C\\ \end{array}\)

En sammansatt funktion deriverar vi som \(Df(g)=f'(g)g’\). Då vi tillämpar detta på sinus och cosinus får vi följande:

\(\begin{array}{rcl} D \sin (f(x)) &=& \cos(f(x))\cdot f'(x) \\ &=& f'(x)\cos(f(x))\\ \text{ och } \\ D \cos (f(x)) &=& -\sin(f(x))\cdot f'(x) \\ &=& -f'(x)\sin(f(x))\\ \end{array}\)

Då vi opererar med integralen på bägge led får vi att \(\int f'(x)\cos f(x) \mathrm{ d}x = \sin f(x) +C\) och \(\int f'(x)\sin f(x) \mathrm{ d}x = -\cos f(x) +C.\).

Allmänt kan vi integrera sammansatta funktioner som \(\int f'(x)g(f(x))\mathrm{ d}x = G(f(x)) + C\).

Exempel 2 Bestäm \(\int \cos 5x \mathrm{ d}x\).

Lösning

Vi har den inre funktionen \(5x\) och dess derivata, \(5\), måste vi hitta framför eller så måste vi skapa den.

\(\int \cos 5x \mathrm{ d}x =\frac{1}{5}\int 5\cos 5x \mathrm{ d}x = \frac{1}{5}\sin 5x + C\).

Trigonometriska funktioner integrerar vi som

  • \(\int \sin x \mathrm{ d}x = -\cos x + C\)
  • \(\int \cos x \mathrm{ d}x = \sin x + C\)

Sammansatta funktioner integrerar vi som

  • \(\int f'(x)g(f(x))\mathrm{ d}x = G(f(x)) + C\)

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \(\int 4\cos x \mathrm{ d}x\)
    2. \(\int \cos 4x \mathrm{ d}x\)
    3. \(\int 5 \sin x \mathrm{ d}x\)
    4. \(\int \sin 5x \mathrm{ d}x\)
  2. Bestäm den primitiva funktionen för
    1. \(x^2 \sin x^3\)
    2. \(2\cos \frac{x}{3}\)
    3. \(x^2\sin 3x^3\)
    4. \(x\cos (-2x^2)\)
  3. Bestäm \(\int \sin x \cos^2 x \mathrm{ d}x\).
  4. Bestäm den primitiva funktion för \(f(x)=\sin x + 2\cos 2x\) som i punkten \(\pi\) har värdet 3.
  5. Bestäm \(\int \sin(2x -\frac{\pi }{4}) \mathrm{ d}x\).
  6. Bestäm \(\int \cos(\pi -\frac{x}{2}) \mathrm{ d}x\).
  7. För funktionen \(f\) vet vi att \(f”(x)=\sin x -4\cos 2x\) och att \(f'(0)=2\) och att \(f(\frac{\pi}{2})=3\). Bestäm \(f(x)\).
  8. Visa att \(\int f'(x)g(f(x))\mathrm{ d}x = G(f(x)) + C\) gäller.