7. Areor

Bestäm arean av det färgade området i bilden.

Lösning

Vi har en parallelltrapets. Avståndet mellan de parallella sidorna är \(3-1=2\) och längden av de parallella sidorna är \(f(1)=2\) och \(f(3)=4\).

Arean blir \(\frac{2+4}{2}\cdot 2 = 6\).

Exempel 1 Bilda en funktion som beskriver arean, \(A(x)\), och derivera den. Vad märker du?

Lösning

Vi har en parallelltrapets. Avståndet mellan de parallella sidorna är \(1-x\) och längden av sidorna är \(f(1)=2\) och \(f(x)\).

Areafunktionen blir \(A(x)=\frac{2+x+1}{2}(x-1)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1)=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}\).

\(A'(x)=x+1\) som är samma som \(f(x)\).

Exempel 2 Ett område i \([1,x]\) avgränsas av funktionen \(f(x)=2x+2\), \(x\)-axeln och två linjer som är vinkelräta \(x\)-axeln.

  1. Bestäm \(A(3)\)
  2. Bestäm \(A(1)\)
  3. Bilda funktionen \(A(x)\). Derivera den. Vad märker du?

Lösning

  1. Vi har en parallelltrapets, där höjden är \(4-1=3\) och där längden för de parallella sidorna är \(f(1)=4\) och \(f(4)=10\).

    Arean blir \(A(4)= \frac{4+10}{2}\cdot 3 = 21\).

  2. Vi får en figur där längderna för de parallella sidorna är lika långa och där avståndet mellan dem är 0. Arean blir \(A(1)=0\).
  3. Avståndet mellan de parallella sidorna är \(x-1\) och längderna för de parallella sidorna är \(f(1)=4\) och \(f(x)=2x+2\).

    Arean blir \(A(x)=\frac{4+2x+2}{2}(x-1) = \frac{2x+6}{2}(x-1)=(x+3)(x-1) = x^2+2x-3\).
    Då vi deriverar \(A(x)\) får vi \(2x+2\). Vi märker att \(A'(x)=f(x)\).

Exempel 3 Parabeln \(y=x^2\) och \(x\)-axeln avgränsar ett område i intervallet \([1,3]\). Bestäm arean av området.

Lösning


Vi bildar en funktion \(A\) som ger arean för funktionen \(f(x)=x^2\) i intervallet \([1,3]\). Areans värde är \(A\):s värde i punkten 3, alltså \(A(3)\).

En primitiv funktion för \(f\) är \(F(x)=\frac{1}{3}x^3\). Betyder att \(A(x)=\frac{1}{3}x^3+C\).

För funktionen \(A(x)\) vet vi att \(A(1)=0\), så vi bestämmer ett värde för \(C\).
\(\begin{array}{rcl} A(1)&=&0\\ \frac{1}{3}1^3+C &=&0 \\ C &=& -\frac{1}{3}\\ \end{array}\)

Vi har alltså \(A(x)=\frac{1}{3}x^3 -\frac{1}{3}\).

Den sökta arean är \(F(3)=\frac{1}{3}3^3-\frac{1}{3} = 8\frac{2}{3}\).

Antag att funktionen \(f\) är positiv och kontinuerlig i intervallet \([a,b]\). Då är arean som bildas mellan funktionen och \(x\)-axeln och som begränsas av \(a\) och \(b\) \(A=F(b)-F(a)\) där \(F\) är någon primitiv funktion för \(f\) .

Exempel 4 Bestäm arean mellan funktionen \(f(x)=-x^2-4x\) och \(x\)-axeln.

Lösning

Skärningspunkterna för \(f\) och \(x\)-axeln är
\(\begin{array}{rcl} -x^2-4x&=&0 \\ -x(x+4) &=&0 \\ \end{array}\)

Alltså då \(x=0\) eller då \(x=-4\).

Den primitiva funktionen är \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3-4\cdot\frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{3}x^3-2x^2\).

Arean blir \(A= F(0)-F(-4) = [-\frac{1}{3}\cdot0^3-2\cdot0^2]-[-\frac{1}{3}(-4)^3-2(-4)^2] = 0-(\frac{64}{3}-32)=10\frac{2}{3}\).

Uppgifter

  1. Bestäm arean av det färgade området i bilden så som gjordes i exempel 1.
  2. Bilda en funktion \(A(x)\) som beskriver arean för funktionen \(f\) och \(x\)-axeln i intervallet \([2,x]\) och derivera den. Vad märker du?

  3. Bestäm arean i intervallet \([1,4]\) som bildas mellan funktionen \(f(x)=x^2+1\) och \(x\)-axeln så som gjordes i näst sista exemplet.
  4. Bestäm arean i intervallet \([-1,2]\) mellan funktionen \(f(x)=4x^3+4\) och \(x\)-axeln.
  5. Bestäm arean mellan \(f(x)=-x^2+4\) och \(x\)-axeln.
  6. Bestäm arean som bildas mellan \(x\)-axeln och \(f(x)=e^x+1\) i intervallet \([0,2]\).
  7. Bestäm arean som begränsas av funktionerna \(x=1\), \(x=4\), \(y=\frac{1}{2}x+2\) och \(x\)-axeln.
  8. Bestäm arean som bildas mellan funktionen \(\sin 2x\) och \(x\)-axeln i intervallet \([0,\frac{\pi}{2}]\).
  9. För vilket värde på \(k\) gäller att arean som bildas i intervallet \([1,k]\), mellan funktionen \(f(x)=\frac{1}{x}\) och mellan \(x\)-axeln har värdet 10?