8. Bestämd integral

Från förra kapitlet fick vi bland annat att arean för ett område i intervallet \([a,b]\) som begränsas av funktionen \(f\) och \(x\)-axeln beräknar vi som \(A = F(b)-F(a)\).

Skillnaden som uppstår då vi bestämmer arean, \(F(b)-F(a)\), kallas för den bestämda integralen för funktionen \(f\) från \(a\) till \(b\). Den bestämda integralen betecknas \(\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x.\)

Exempel 1 Bestäm \(\int_1^4 (2x^3 – 4)\mathrm{ d}x\).

Lösning

\(\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_1^4 (2x^3 – 4)\mathrm{ d}x &=& \bigg/_1^4 \; 2\cdot \frac{1}{4}x^4-4x \\ \\ &=& \bigg/_1^4 \; \frac{1}{2}x^4-4x \\ &=& (\frac{1}{2}\cdot4^4-4\cdot 4)- (\frac{1}{2}\cdot 1^4-4\cdot 1) \\ &=& 112 – (-3\frac{1}{2})= 115\frac{1}{2}\\ \end{array}\)

Insättning av gränserna för den bestämda integralen betecknas med \(\bigg/_a^b\).

För en bestämd integral gäller alltså att \(\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x = \bigg/_a^b \;F(x)=F(b)-F(a)\).

Den bestämda integralen har följande egenskaper:

  • \(\int_a^b (f(x)+g(x))\mathrm{ d} x = \int_a^b f(x)\mathrm{ d} x+\int_a^b g(x)\mathrm{ d} x \). Vi intergrear termvis.
  • \(\int_a^b kf(x)\mathrm{ d}x = k\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x\). Vi flyttar koefficienter utanför.
  • Exempel 2 Bestäm \(\int_0^1 (e^{-x}+1)^2 \mathrm{ d}x\).

    Lösning

    Vi har följande
    \(\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_0^1 (e^{-x}+1)^2 \mathrm{ d}x &=& \displaystyle\int_0^1 \;(e^{{-x}^2}+2e^{-x}+1)\mathrm{ d}x \\ \\ &=& \displaystyle\int_0^1 e^{-2x}\mathrm{ d}x+\displaystyle\int_0^1 2e^{-x}\mathrm{ d}x+\displaystyle \int_0^1 1\mathrm{ d}x \\ \\ &=& -\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 -2e^{-2x}\mathrm{ d}x+2(-1)\displaystyle\int_0^1 -e^{-x}\mathrm{ d}x+\displaystyle\int_0^1 1\mathrm{ d}x \\ \\ &=& -\frac{1}{2}\bigg/_0^1 \;e^{-2x} -2 \bigg/_0^1 \;e^{-x} + \bigg/_0^1 \; x \\ \\ &=& -\frac{1}{2}(e^{-2\cdot1}-e^{-2\cdot 0})-2(e^{-1}-e^0)+(1-0) \\ \\ &=& -\frac{1}{2}(e^{-2}-1)-2(e^{-1}-1)+1 \\ \\ &=& -\frac{1}{2}e^{-2}+\frac{1}{2}-2e^{-1}+2+1 \\ \\ &=& -\frac{1}{2}e^{-2}-2e^{-1}+3\frac{1}{2}\\ \end{array}\)

    För en bestämd integral kan vi dela upp intervallet så att vi styckvis bildar den bestämda integralen \(\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x= \int_a^c f(x)\mathrm{ d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{ d}x\) där \(a<c<b\).

    För en bestämd integral kan vi ändra ordningen på varifrån vart som vi integrerar. Det vi då får är den motsatta bestämda integralen.

    \(\int_a^b f(x) \mathrm{ d}x = -\int_b^a f(x) \mathrm{ d}x.\)

    Om det är så att övre och nedre gränsen har samma värde får den bestämda integralen värdet 0, \(\int_a^a f(x) \mathrm{ d}x = 0.\)

    Exempel 3 Bestäm \(\int_0^\pi \sin x \mathrm{ d} x+ \int_\pi^0 \sin x \mathrm{ d} x\).

    Lösning

    Vi får att

    \(\int_0^\pi \sin x \mathrm{\,d} x+ \int_\pi^0 \sin x \mathrm{\,d} x = \int_0^0 \sin x \mathrm{\,d} x =0\).

    För en bestämd integral gäller att \(\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x = \bigg/_a^b \;F(x)=F(b)-F(a).\)

    En bestämd integal har följande egenskaper 

    • vi kan dela upp den som summa\(\int_a^b (f(x)+g(x))\mathrm{ d} x = \int_a^b f(x)\mathrm{ d} x+\int_a^b g(x)\mathrm{ d} x \)
    • flytta ut en konstant\(\int_a^b kf(x)\mathrm{ d}x = k\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x\)

    Vi kan dela upp den styckevis \(\int_a^b f(x)\mathrm{ d}x= \int_a^c f(x)\mathrm{ d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{ d}x\) där \(a<c<b\) och ändra på ordningen för ändpunkterna \(\int_a^b f(x) \mathrm{ d}x = -\int_b^a f(x) \mathrm{ d}x.\)

Uppgifter

  1. Bestäm \(\int_{5}^8 \frac{1}{2}x-2\mathrm{\, d}x\).
  2. Bestäm \(\int_1^3 \frac{1}{3}x^2+2\mathrm{\, d}x\).
  3. Bestäm \(\int_{-2}^0 -x^2 -2x \mathrm{\,d}x\).
  4. Bestäm \(\int_{-1}^0 2x^3-4x+1 \mathrm{ d}x\).
  5. Bestäm \(\int_0^{\pi} 2\sin x \mathrm{\,d}x\).
  6. Bestäm \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \frac{x}{2}\mathrm{ \,d}x\).
  7. Bestäm \(\int_0^1 x^2\sin x^3 \mathrm{\,d}x\).
  8. Bestäm \(\int_{1}^e \frac{1}{x}+1\mathrm{ d}x\).
  9. Bestäm \(\int_1^2 \frac{3}{5x} \mathrm{\,d}x\).
  10. Bestäm \(\int_1^3 \frac{1}{2x}+1 \mathrm{\,d}x\).
  11. För vilket värde på \(a\) gäller att \(\int_0^a \sin 2x\mathrm{\, d}x = 1\)?
  12. För vilket värde på \(a\) gäller att \(\int_{-4}^a -x^2-4x \text{ d}x = 9\)?