9. Arean mellan koordinataxlarna och en funktion

Bestäm storleken av arean som bildas mellan \(f(x)=x^2+4x\) och \(x\)-axeln.

Lösning

Vi har följande situation

Skärningspunkterna för funktionen och \(x\)-axeln är
\(\begin{array}{rcl} x^2+4x &=& 0 \\ x(x+4) &=& 0 \\ \end{array}\)

som har lösningarna \(x=0\) och \(x+4=0 \Leftrightarrow x=-4\).

Arean får vi genom att räkna
\(\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-4}^0 x^2+4x \mathrm{ d}x &=& \bigg/_{-4}^0 \frac{1}{3}x^3+4\frac{1}{2}x^2 \\ &=& \bigg/_{-4}^0 \frac{1}{3}x^3+2x^2 \\ &=& (\frac{1}{3}\cdot 0^3+2\cdot 0^2)-(\frac{1}{3}(-4)^3+2(-4)^2) \\ &=& 0-(10\frac{2}{3}) \\ &=& -10\frac{2}{3} \\ \end{array}\)

Areor som bildas mellan funktioner och koordinataxlar bestämmer vi så att vi får ett positivt värde för arean.

Då \(f(x)\geq 0\) får vi arean som \(A= \int_a^b f(x) \mathrm{ d}x\).

Då \(f(x)\leq 0\) får vi arean som \(A= -\int_a^b f(x) \mathrm{ d}x\).

Generellt gäller att \(A= \mid\int_a^b f(x) \mathrm{ d}x \mid\).

Exempel 1 Bestäm arean som bildas mellan funktionen \(f(x)=x^3-3x^2-x+3\) och \(x\)-axeln i intervallet \([0,3]\).

Lösning

Då vi ritar en skiss märker vi att arean är ovan och nedanför \(x\)-axeln. För att få ett korrekt värde på arean behandlar vi den som två intervall. För att göra det behöver vi nollställena för funktionen, alltså \(x^3-3x^2-x+3 =0\) då \(x=\pm1\) eller \(x=3\).

Vi får \(\int_0^3 x^3-3x^2-x+3 \mathrm{ d} x= \int_0^1 x^3-3x^2-x+3 \mathrm{ d} x -\int_1^3 x^3-3x^2-x+3 \mathrm{ d} x\).

Arean är:

\(\begin{array}{l} \displaystyle \int_0^1 x^3-3x^2-x+3 \mathrm{ d} x -\displaystyle\int_1^3 x^3-3x^2-x+3 \mathrm{ d} x = \\ = \bigg /_0^1 \frac{1}{4}x^4-x^3-\frac{1}{2}x+3x – \bigg/_1^3 \frac{1}{4}x^4-x^3-\frac{1}{2}x+3x \\ = [(\frac{1}{4}\cdot 1^4-1^3-\frac{1}{2}\cdot 1+3\cdot 1)-(\frac{1}{4}\cdot 0^4-0^3-\frac{1}{2}\cdot 0+3\cdot 0)]\\ -[(\frac{1}{4}\cdot 3^4-3^3-\frac{1}{2}\cdot 3+3\cdot 3)-(\frac{1}{4}\cdot 1^4-1^3-\frac{1}{2}\cdot 1+3\cdot 1)] \\ = 2\frac{1}{4}-(-1\frac{1}{2})\\ = 2\frac{1}{4}+1\frac{1}{2} =3\frac{3}{4}\\ \end{array}\)

Exempel 2 Bestäm arean som bildas i intervallet \([0,2]\) för funktionerna \(f(x)=\frac{1}{x}\) och \(g(x)=x\).

Lösning

Vi har följande situation

Skärningspunkterna för linjerna är

\(\begin{array}{rcl} \frac{1}{x} &=& x \\ x^2 &=& 1 \\ x &=& \pm 1\\ \end{array}\)

Arean får vi som

\(\begin{array}{rcl} A &=& \displaystyle\int_0^1 x \mathrm{ d}x + \displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x} \mathrm{ d }x \\ &=& \bigg/_0^1 \frac{1}{2}x^2 +\bigg/_1^2 \ln x \\ &=& \frac{1}{2}\cdot 1^2 -\frac{1}{2}\cdot 0^2 +\ln 2-\ln 1 \\ &=& \frac{1}{2}-0+\ln 2 -0 \\ &=& \ln 2 +\frac{1}{2}\\ \end{array}\)

Exempel 3 Bestäm arean som bildas mellan \(y\)-axeln och \(x=y^2+2y-3\).

Lösning

Situationen är följande:

Skärningspunkterna för \(y\)-axeln och funktionen är

\(\begin{array}{rcl} y^2+2y-3=0 \\ y &=& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1(-3)}}{2\cdot 1} \\ y &=& \frac{-2\pm 4}{2}\\ \end{array}\)

Skärningspunkterna är \(y=1\) och \(y=-3\).

Arean blir

\(\begin{array}{rcl} A &=&\displaystyle\int_{-3}^1 y^2+2y-3 \mathrm{ d}y \\ &=& \bigg/_{-3}^1 \frac{1}{3}y^3 +y^2-3y \\ &=& [\frac{1}{3}\cdot 1^3 +1^2-3\cdot 1]-[\frac{1}{3}(-3)^3 +(-3)^2-3(-3)]\\\\ &=& -1\frac{2}{3} -9 \\ &=& -10\frac{2}{3}\\ \end{array}\)

Arean är \(10\frac{2}{3}\) a.e.

Uppgifter

  1. Bestäm storleken av arean som bildas mellan \(f(x)=-4x+3\) och x-axeln i intervallet [1,2].
  2. Bestäm arean för det område som bildas mellan funktionen \(f(x)=2x^3-x-1\) och x-axeln i intervallet \([-1,1]\).
  3. Bestäm storleken av arean som bildas mellan \(f(x)=x^2-4x+3\) och x-axeln.
  4. Bestäm storleken av arean som bildas mellan \(f(x)=2\sin x\) och x-axeln i intervallet \([-\pi,\pi]\).
  5. Bestäm arean för det område som bildas mellan funktionen \(f(x)=\cos \frac{x}{2}\) och x-axeln i intervallet \([0,2\pi]\).
  6. Bestäm arean för det område som bildas mellan funktionen \(f(x)=\sin x \cos^2x\) och x-axeln i intervallet \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
  7. Bestäm arean som bildas mellan \(f(x)=2x\), \(g(x)=\frac{1}{x}+1\) och \(x\)-axeln i intervallet \([0,4]\).
  8. Bestäm storleken av arean som bildas mellan \(f(x)=-x^2+4x\), \(g(x)=-x+4\) och x-axeln.
  9. Bestäm arean av det område som bildas mellan \(y\)-axeln och \(x=y^2-4y-5\).
  10. Bestäm arean för det område som begränsas av \(f(y)=y^3-2y^2-8y\) och \(y\)-axeln i intervallet \([-2,4]\).
  11. Sidan av en takränna har formeln av en parabel. Öppningen är 10,0 cm och djupet är 7,5 cm. Takrännan är 5,0 m lång. Hur många liter vatten rymmer den?