6. Procentuell förändring

För att stöda ungdomar att studera betalar staten ut studiestöd i form av bostadsbidrag och studiepenning. Studiepenningen är 250,28 € per månad. Regeringen beslutar sig att höja studiepenningen med först 1,0 % och sedan med 0,8 %. Hur stor är studiepenningen efter den första höjningen? Hur stor är den efter båda höjningarna?

Lösning

Studiestödet efter första höjningen är \((1+0,01)250,28 = 252,78\) .

Efter andra höjningen är den \((1+0,008)252,78 = 254,80\) €.

Diskutera med din bänkkamrat eller fundera för dig själv: Varför kan vi inte addera ihop procenterna i introduktionen för att få den totala höjningsprocenten?

Lösning

Vi testar. Om ökningen är 1,8 % är slutsumman \((1+0,018)250,28 = 254,79\) €.

Med ökningarna 1 % och 0,8 % är den totala procentuella förändringen \(\frac{254,80}{250,28}=1,01805977\).

OBS! Summorna är nästan samma men ändå inte. När vi har procentuell förändring måste vi beakta förändringarna skilt för sig. 

Exempel 1 Anna deponerar 5 000 € på ett konto. Hur mycket finns på kontot efter 10 år om räntesatsen är

  1. \(0,5\;\%\)
  2. \(6\;\%\)?

Lösning

År 1 har vi \(5000 (1+0,005) = 5000\cdot 1,005\)€.

År 2 har vi \(5000\cdot 1,005 (1 +0,005) = 5000\cdot 1,005^2 \) €.

År 3 har vi \(5000\cdot 1,005^2\cdot 1,005 = 5000\cdot 1,005^3\) €.

Efter n år har vi \(5000\cdot 1,005^n \).

Efter 10 år har vi alltså \(5000\cdot 1,005^{10}=5255,70\) €.

Ändrar vi räntan till 6 % och följer samma logik som ovan får vi att efter \(n\) år har vi \(5000\cdot 1,06^n \). Efter 10 år har vi \(5000\cdot 1,06^{10}= 8954,24 \).

Exempel 2 Priset på en vara höjdes före jul. Efter jul sänktes priset för varan med 40 % så att priset blev lika stort som det ursprungliga före jul. Med hur många procent hade man höjt priset före jul?

Lösning

Vi betecknar varas pris i början med \(a\). Efter prishöjningen, \(p\) %, har varan priset \(a(1+\frac{p}{100})\). Detta pris sänks 40 % och landar på det ursprungliga priset \(a\).

Vi får alltså

\(\begin{array}{rcll} a(1+\frac{p}{100})(1-0,4) & = & a &\mid /a \\
(1+\frac{p}{100})\cdot 0,6 & = &1 &\mid /0,6 \\
1 + \frac{p}{100} & = & \frac{1}{0,6} \\
\frac{p}{100} &=& \frac{1}{0,6} -1 & \mid \cdot 100 \\
p & = & 100(\frac{1}{0,6}-1) = 66,66 \% \end{array}\)

Svar: Priset skall höjas med 66,7 %.

Exempel 3 Hur mycket 9-procentig saltlösning bör man tillföra 2 liter 3-procentig saltlösning så att man får en lösning vars salthalt är 6 %?

Lösning

Vi ställer upp en ekvation. Vi har nu \(0,03\cdot 2\) liter salt och sätter till \(0,09\cdot x\) liter salt. Totalt har vi då \((2+x)\cdot 0,06\) liter salt i lösningen.

Alltså

\(\begin{array}{rcl} 0,03\cdot 2 +0,09 \cdot x&=&(2+x)\cdot 0,06 \\ 0,06 +0,09x &=&0,12 + 0,06x \\ 0,03x&=&0,06 \\ x&=&\frac{0,06}{0,03}=2\\ \end{array}\)

Svar: 2 liter 9 % saltlösning bör tillsättas.

Uppgifter

  1. Ett vattenfilter består av flera tunna hinnor som var för sig filtrerar vattnet. Ett filterlager tar bort 1,5 % av smutspartiklarna i vattnet. Hur många procent tar 10 lager bort?

    1. Hur många procent avlägsnar 100 lager?
    2. *Hur många lager behöver vi för att vattnet skall renas så att 98 % av smutspartiklarna är borta?

  2. Priset för mjölk sänktes med 20 %. Med hur många procent borde försäljningen öka för att värdet av försäljningen skall hållas konstant?
  3. Värdet på en bil sjunker med 10 % per år. Vad är bilen värd efter 8 år då den som ny var värd 25 000 €?

  4. En studerande löste följande uppgift:

    För en överfiskad fiskart gäller att beståndet minskar med 2,5 % varje år. I en sjö finns det 1 500 fiskar. Efter hur många år är beståndet nere i hälften om trenden forstätter konstant?

    Lösnigen var följande

    Hälften betyder \(\frac{1500}{2} = 750\) fiskar. Det minskar med 2,5 % varje år. Alltså efter \(\frac{750}{2,5} = 300\) år är beståndet nere i hälften.

    Lös uppgiften, korrigera felen och förklara varför som det far åt skogen med lösningen ovan.

  5. *För att få större skatteintäkter beslutar sig en regering för att höja mervärdeskatten för sötsaker på 20 % med 3 procentenheter. Det som händer är att försäljningen minskar med 1,5 %. Går det som regeringen hoppades och hur många procent högre intäkter får de?

  6. Jämför hur mycket en person kommer att ha på sitt konto då hen fyller 60 år om hen som a) 20- b) 30-åring deponerar 1000 € med den årliga avkastningen 5 %.
    1. Som 20 åring har hen följande summa
    2. Som 30 åring har hen följande summa
  7. Torv innehåller 90 % vatten. Hur många procent av vattnet måste avdunsta för att torven skall innehålla 45 % vatten efter torkningsprocessen?

  8. *Äpple består av 70 % vatten och 4 % socker. Äpple torkas så att andelen vatten sjunker till 10 %. Bestäm andelen socker i äpplena efter torkningen.
  9. *I ett bostadshus är hyresintäkterna 12 % lägre än kostnaderna för underhållet. Med hur många procent borde hyrorna höjas, för att de skall bli 10 % högre än underhållskostnaderna, när dessa samtidigt stiger med 4 %?