MaA 12 Algoritmer i matematiken

3. Faktorisering av polynom

Exempel 1 Faktorisera \( x^3+x^2-2x \)

När vi faktoriserar med hjälp av nollställen utnyttjar vi faktorsatsen.

Talet \( a \) är ett nollställe till polynomet \( P(x) \) om och endast om \( x-a \) är en faktor i polynomet \( P(x) \).

Exempel 2 Ett polynom av trejde grad har nollställena \( 1 \) och dubbelnollstället \( -5 \). Bestäm polynomet.

Lösning

Eftersom vi har nollställena \( 1 \) och dubbelnollstället \( -5 \) polynomet ut som \( (x-1)(x+5)^2 = x^3+9x^2+15x+25 \).

Exempel 3 Bestäm när \( x^3+3x^2-4 < 0 \)

Uppgifter

  1. Faktorisera följande uttryck. Använd dig antingen av gruppering och/eller division.
    1. \( x^3 -x \)

      \( x^3 -x = x(x^2-1) = x(x+1)(x-1) \)

    2. \( 2x^3+2x^2-2x-2 \)

      Vi får \( 2x^3+2x^2-2x-2 = 2(x^3+x^2-x-1) = \\ 2[x^2(x+1)-(x+1)] = 2(x^2-1)(x+1) = \\ 2(x-1)(x+1)(x+1) \).

      Alternativt kan vi faktorisera med hjälp av trappan. Då skall vi gissa fram en lösning till \( 2x^3+2x^2-2x-2 = 0 \). För att komma vidare måste vi gissa \( x=1 \) eller \( x=-1\) och dividera med \( x-1 \) eller \( x+1 \) för att komma vidare.

    3. \( x^3 -x^2-10x-8 \)

      För att komma vidare måste vi gissa fram en lösning när \( x^3 -x^2-10x-8 =0 \). Vi kommer fram till någon av lösningarna \( x = -1 \), \( x = -2 \) eller \( x = 4 \) och dividerar oss därifrån vidare. Vi kommer fram till \( (x+1)(x+2)(x-4) \).

  2. Bilda följande polynom
    1. med nollställena \( x = 2 \) och \( x = -3 \)

      \( (x-2)(x+3) = x^2+x-6 \)

    2. med nollställena \( x = -4 \) och dubbelnollstället \( x = -1 \)

      \( (x+4)(x+1)^2 = x^3+6x^2+9x+4 \)

    3. med nollställena \( x = 0 \), \( x = -2 \) och \( x = 2 \)

      \( x(x+2)(x-2)=x^3-4x \)

  3. På räknarprogram med CAS funktion kan man faktorisera polynom. Formulera en algorimt som faktoriserar polynom.

    Lösningen
  4. Lös följande olikheter utan att använda dig av räknare.
    1. \( x^3+x^2-2x > 0\)

      Vi faktoriserar och får \( x(x-1)(x+2) \).

      Vi bildar ett teckenshema med 3 rader och då vi kombinerar dem får vi lösningen \( -2 < x < 0 \) eller \( x > 1 \).

    2. \( x^3-2x^2+x-2 < 0 \)

      Vi faktoriserar och får \( (x-2)(x^2+1) \).

      Vi bildar ett teckenshema med 2 rader och då vi kombinerar dem får vi lösningen \( x < 2 \).

      Alternativt kan vi märkar att \( (x^2+1) \) alltid är positivt. Då räcker det att endast undersöka tecknet för \( x-2 \).

    3. \( x^4-x^3-5x^2+3x < 0 \)

      Då vi faktoriserar får vi \( x(x+3)(x-1)^2 \)

      Vi måste undersöka tecknet hos alla faktorer. Vårt teckenschema har 3 rader och då vi kombinerar får vi \( -3 < x < 0 \).

  5. Bestäm värden för \( a \), \( b \) och \( c \).
    1. För vilket värde på \( a \) går divisionen \( \dfrac{2x^3+ax+4}{1-x} \) jämnt ut? Bestäm även kvoten.

      \(a = -6 \). Kvoten är \(-2x^2-2x+4\).

    2. För vilket värde på \( b \) går divisionen \( \dfrac{-x^3+2x^2+bx-3}{x-3} \) jämnt ut? Bestäm även kvoten.

      \(b = 4 \). Kvoten är \(-x^2-x-1\).

    3. För vilket värde på \( c \) går divisionen \( \dfrac{x^3-4x^2-x+c}{4-x} \) jämnt ut? Bestäm även kvoten.

      \(c = 4 \). Kvoten är \(x^2-1\).

  6. Bestäm gränsvärdet genom att dela upp i faktorer. Försök att klara dig utan räknare.
    1. \( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{1-x} \)

      Vi ser att \(x =1\) är en rot i täljaren. Vi dividerar med \( (x-1) \) och får att \(x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\). \((x^2+x+1)\) försöker vi faktorisera med hjälp av nollställen, de saknas.

      Alltså \( \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{1-x} = \\ \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{1-x} = \lim_{x \to 1} \dfrac{-(-x+1)(x^2+x+1)}{1-x} = \\ \lim_{x \to 1} -(x^2+x+1) = -(1^1+1+1) = -3 \)

    2. \( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x^4-16} \)

      Vi faktoriserar med hjälp av konjugatregeln.

      \( \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x^4-16} = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{(x^2-4)(x^2+4)} = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{(x^2+4)} = \dfrac{1}{8}\)

    3. \( \lim_{x \to -1} \dfrac{2x^2+3x+1}{x^2-1} \)

      Täljaren faktoriserar vi via nollställen och nämnaren via konjugatregeln.

      \( 2x^2+3x+1 \) har nollställena \(x=-1 \) och \(x=-\dfrac{1}{2}\). Koefficienten framför \( x^2 \) är \( 2 \), alltså \( 2x^2+3x+1 =2(x+1)(x+\dfrac{1}{2}) = (x+1)(2x+1) \).

      \( x^2-1 =(x+1)(x-1) \).

      Vi får \( \lim_{x \to -1} \dfrac{2x^2+3x+1}{x^2-1} = \lim_{x \to -1} \dfrac{(x+1)(2x+1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to -1} \dfrac{(2x+1)}{(x-1)} = \dfrac{-2+1}{-1-1} = \dfrac{1}{2} \)

  7. På räknarprogram med CAS funktion kan man bestämma gränsvärden. Då faktoriserar och förkortar räknaren före den bestämmer gränsvärdet. Formulera en algorimt som gör det.

    Lösningen