MaA 12 Algoritmer i matematiken

7. Newton-Cotes metoder för integrering

Vi bestämmer arean mellan funktionen \( f(x) = x^3 + x^2 +4\) och \(x\)-axeln i intervallet -2 till 1 utan att integrera.

Vi använder oss av tre numeriska metoder, rektangelformeln, trapetsformeln och Simpson formel. Gemensamt för alla tre är att vi delar in arean i mindre delar.

För att kunna jämföra de numeriska metoderna med det exakta värdet så bestämmer vi det, \[ \displaystyle\int_{-2}^0 x^3+x^2+4 = 11\dfrac{1}{4}. \]

Vi börjar med rektangelformeln.

Rektangelformeln

Tanken är att vi bildar rektanglar. Det studerar vi med hjälp av GeoGebra.

GeoGebra app

Vi märker att vi kommer närmare det exakta värdet destu mera intervall som vi delar in arean i.

Traptesformeln

Här bildar vi trapeter. Fördelen är att trapetsernas area är beroende av två längder. Vi studerar arean med hjälp av GeoGebra.

GeoGebra app

Vi märker att med Trapetsformeln kommer vi närmare det exakta värdet än med rektangelmetoden.

Simpsons formel

Med Sipsons formel utnyttjar vi intervall där vi har vägda medelvärden för arean.

GeoGebra app

Närmast sanningen kommer vi med Simpsons metod.

Exempel 1 Bestäm storleken av arean som bildas mellan \( f(x) = \) och \( x \)-axeln då vi delar upp intervallet i XX delar.

Lösning

Uppgifter

  1. Bestäm arean som bildas mellan \( f(x) = x^3 -2x +4 \) och \(x\)-axeln i intervallet \(-2\) och \(1\). Använd dig av 3 intervall.
    1. Med rektangelmetoden

      Bredden på intervallet är 1. Vi får \(A = 1 (f(-1,5) + f(-0,5) + f(0,5)) = 11,625 \).

    2. Med trapetsmetoden

      Vi får \( A = 1 (\dfrac{1}{2}f(-2)+f(-1)+f(0)+\dfrac{1}{2}f(1)) = 10,5 \).

    3. Med Simpsons metod

      Vi får \( A = \dfrac{1}{3} \cdot 1 (f(-2) + 4f(-1) + 2f(0) + f(1)) = 10\dfrac{1}{3} \).

    4. Exakt på räknare eller för hand

      Vi får \( A = \displaystyle\int_{-2}^1 x^3-2x+4 \mathrm{ d}x = 11\dfrac{1}{4} \).

  2. Bestäm arean som bildas mellan \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) och \(x\)-axeln. Använd dig av intervallbredden 1.
    1. Med rektangelmetoden

      Bredden på intervallet är 1. Vi har 6 st intervall. Skärningspunkterna är \(-1\) och \(5\). Bestäm dessa!

      Vi får \(A = 1 (f(-0,5) + f(0,5) + f(1,5) + f(2,5) + f(3,5) + f(4,5)) = 36,5 \).

    2. Med trapetsmetoden

      Vi får \( A = 1 (\dfrac{1}{2}f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+\dfrac{1}{2}f(5)) = 35 \).

    3. Med Simpsons metod

      Vi får \( A = \dfrac{1}{3} \cdot 1 ( f(-1) + 4f(0) + 2f(1) + 4f(2) + 2f(3) + 4f(4) + f(5) ) = 36 \).

    4. Exakt på räknare eller för hand

      Vi får \( A = \displaystyle\int_{-1}^5 -x^2+4x+5 \mathrm{ d}x = 36 \).