MaA 2 Polynomekvationer och -funktioner

12. Olikheter av andra grad

Bestäm de \(x\) så att \(-x^2+4 >0\).

Lösning

Vi har \(-x^2+4 > 0\)

Vi löser ekvationen\(-x^2+4 =0\).

\(\begin{array}{rcll} -x^2 +4 &=&0 \\ -x^2 &= &-4 & \mid \cdot (-1)\\ x^2 &= &4 & \mid \sqrt{\quad}\\ x &= & \pm 2 \\ \end{array}\)

Vi ritar upp en skiss med nollställena

Parabeln öppnar sig neråt och är då positiv mellan nollställena. Lösningen är \(-2 <x <2\).

Exempel 1 Lös \(x^2-x-6 \leq 0\).

Lösning

Vi har \(x^2-x-6 \leq 0\).

Vi löser ekvationen:

\(\begin{array}{lrcll} &-x^2-x-6&= &0 & \textrm{} \\ &x &= &\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 -4 \cdot 1 (-6)}}{2\cdot 1} & = \dfrac{1\pm \sqrt{25}}{2} \textrm{} \\ \textrm{Rötterna blir:} &x=\dfrac{1+5}{2}= 3& \textrm{ eller } & x=\dfrac{1-5}{2}= -2& \textrm{} \\ \end{array}\)

Vi skissar en parabel med nollställerna

Parabeln öppnar sig uppåt och är negativ mellan nollställena.

Alltså \(-2 \leq x \leq 3\).

Exempel 2 För vilka värden på \(x\) gäller att värdemängden av \(f(x)=-x^2+4x+4\) är mindre än värdemängden av \(g(x)=-x+4\)?

Lösning

Sitatuonen ser ut som

\(\begin{array}{lrcll} \text{Vi undersöker när } & f(x) &< &g(x) & \textrm{} \\ \text{Vi får att} &-x^2+4x+4 &< &-x+4 & \textrm{} \\ \text{} &-x^2+5x &< &0 & \textrm{} \\ \text{Vi undersöker ekvationen} &-x^2 +5x&= &0 & \textrm{} \\ \textrm{} &-x(x-5) &= &0 & \textrm{} \\ \textrm{Nolleregeln ger:} &-x=0 & \text{ eller } &x-5=0 & \textrm{} \\ \textrm{} & & &x=5 & \textrm{} \\ \end{array}\)

Vi skissar upp en parabel med nollställena

Parabeln öppnar sig neråt och är då negativ utanför nollställena.

Svaret är: \(x<0\) eller \(x>5\).

När vi löser olikheter av andra eller större grad lönar det sig att göra som följande

  1. Bilda ett förhållande till noll.
  2. Lös ekvationen som ger nollställena.
  3. Skissa upp grafen, analysera och svara.

Uppgifter

  1. Bestäm de \(x\) så att \(x^2-4<0\).

    \(x^2<4 \Leftrightarrow -2<x<2\)
  2. Lös \(9-x^2 < 0\).

    Vi får att \(x^2>9\) som har lösningarna \(x<-3\) eller \(x>3\).
  3. Lös \(x^2-4x+3\leq 0\).

    Vi löser ekvationen \(x^2-4x+3=0\) som har nollställena \(x=1\) och \(x=3\).

    Teckenschema eller skissa av parabeln ger att \(1\leq x \leq 3\).

  4. Bestäm de \(x\) så att \(x^2+3x <0\).

    Vi löser ekvationen \(x^2+3x=0\) som har rötterna \(x=0\) och \(x=-3\).

    Teckenschema eller skiss av parabeln ger att \(-3<x<0\).

  5. Lös \(2x^2-3x>0\).

    Då vi löser ekvationen \(2x^2-3x =0\) får vi att \(x=0\) eller \(x=\dfrac{3}{2}\).

    Teckenschema eller skiss av parabeln ger oss att \(x<0\) eller \(x>\dfrac{3}{2}\).

  6. *Lös \(-\dfrac{1}{2}x^2+4 > 0\).

    Vi får att

    \(\begin{array}{rcl} -\dfrac{1}{2}x^2 &>& -4 \\ x^2 &<& 8 \\ \end{array}\)

    Alltså \(-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}\).

  7. Lös \(x^2 > x\).

    Vi får förhållandet \(x^2-x>0\) och ekvationen \(x^2-x=0\) som har lösningarna \(x=0\) och \(x=1\).

    Teckenschema eller skiss av parabeln ger att \(x<0\) eller \(x>1\).

  8. För vilka värden på \(x\) gäller att \(2x^2+3 < 0\)?

    Vi löser ekvationen \(2x^2+3=0\) som sakar rötter.

    Vi har en parabel som öppnar sig uppåt och som inte skär \(x\)-axeln. Alltså sakar olikheten rötter.

  9. För vilka värden på \(x\) gäller att funktionsvärdena för \(f(x)=-2x^2 +6\) är positiva?

    Vad betyder att funktionsvärdena är positiva? Hurdan olikhet löser du?

    Vi har olikheten \(-2x^2-6 >0\) som har nollställena \(x=-\sqrt{3}\) och \(x=\sqrt{3}\).

    Skiss av funktionen ger oss att \)-\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}\).

  10. *Låt \(f(x)=x^2-2x\) och \(g(x)=-x+2\). För vilka värden på \(x\) har funktionen \(g\) ett större värde än funktionen \(f\)?

    Bilda modigt en olikhet.

    Vi löser olikheten \(g(x)>f(x)\), alltså \(-x+2>x^2-2x\) som ger olikheten \(-x^2+x+2>0\) och ekvationen \(-x^2+x+2=0\). Ekvationen har rötterna \(x=-1\) och \(x=2\). Då vi analyserar \(-x^2+x+2>0\) får vi att \(-1<x<2\).

  11. För vilka värde på \(x\) gäller att \((x-3)^2 > (x-1)(x+1)\)?

    Börja med att förenkla, lös sedan olikheten.

    Vi får att \(x^2-6x+9 >x^2-1\) som har lösningen \(x<\dfrac{10}{6}\).

  12. *Bestäm konstanten \(a\) så att värdet av \(f(x)=x^2+a\) är större än värdet av \(g(x)=-x^2+4x\).

    Vi är intressreade av att veta när \(f(x)>g(x)\). Bilda olikheten och lös på och studera sedan roten i rotformeln.

    Vi är intresserade av \(x^2+a>-x^2+4x\). Det ger oss olikheten \(2x^2-4x+a>0\).

    Om denna olikhet skall vara positiv gäller det att ekvationen \(2x^2-4x+a=0\) skall ha endast en rot eller sakna rötter. Det händer då diskriminanten, \(D=b^2-4ac\leq0\). Alltså \((-4)^2-4\cdot 2\cdot a \leq 0\) som har lösningen \(a\leq 2\).