MaA 2 Polynomekvationer och -funktioner

15. Olikheter av högre grad

För vilka värden på \(x\) gäller att \(x^3+x^2-x-1 \geq 0\)?

Lösning

\(\begin{array}{rcl} x^3+x^2-x-1 &\geq &0 \\ \end{array} \)

Vi har ett förhållande till noll så vi undersöker ekvationen: \(x^3+x^2-x-1 = 0\)

\(\begin{array}{rrcl} \textrm{Vi grupperar och bryter ut} &x(x^2-1)+(x^2-1) &= &0 \\ &(x+1)(x^2-1) &= &0 \textrm{} \\ &(x+1)(x-1)(x+1) &= &0 \textrm{} \\ & (x+1)^2(x-1) &=&0 \\ \textrm{Nollregeln ger} &(x+1)^2=0 & &x-1=0 \textrm{} \\ \textrm{} &x=-1 & &x=1 \textrm{} \\ \end{array}\)

Vi bildar ett teckenschema:

\(\begin{array}{r|ccccc} & & -1 & & 1 & \\ \hline (x+1)^2 & +&0 &+ & &+ \\ x-1 &- & &- &0 & + \\ \hline(x+1)^2(x-1) &- &0 &- &0 &+ \\ \end{array}\)

Svaret är: \(x=-1\) eller \(x \geq 1\).

När vi löser olikheter gäller fortfarande samma algoritm:

  • Bilda ett förhållande till 0.
  • Bestäm nollställena genom att lösa ekvationen.
  • Skissa upp en graf eller använd dig av ett teckenschema.
  • Analysera och svara.

Följer du detta recept kan du lösa vilken olikhet som helst.

Bestäm de \(x\) så att \(\dfrac{2x^2-2x}{x^2-9} <0\).

Lösning

Vi förenklar till \(\dfrac{2x(x-1)}{(x+3)(x-3)} < 0\) och undersöker täljaren och nämnaren skilt.

Täljaren: \(2x(x-1) =0\) alltså \(2x=0 \Leftrightarrow x=0\) eller \(x-1=0 \Leftrightarrow x=1\).

Nämnaren: \((x+3)(x-3)=0\), alltså \(x+3 =0 \Leftrightarrow x=-3\) eller \(x-3=0 \Leftrightarrow x=3\).

Vi bilar ett teckenschema:

\(\begin{array}{r|ccccccccc} & & -3 & & 0 & & 1 & & 3 &\\ \hline 2x(x-1) & + & & + & 0 & - & 0 & + & & + \\ (x+3)(x-3) & + & 0 & - & & - & & -& 0 & + \\ \hline \textrm{Kvoten:} & + & \wr & - & 0 & + & 0 & - & \wr & + \\ \end{array}\)

Svaret är: \(-3<x<0\) och \(1<x<3\)

Uppgifter

  1. Lös olikheten \(-2x^3+2x \leq 0\). Kom ihåg att börja med att lösa en ekvation.

    Vi får att \(-2x(x^2-1)=0\). Alltså \(-2x=0\) och \(x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm 1\).

    Teckenschema ger följande

    \(\begin{array}{r|ccccccc} & & -1 & & 0 & & 1 \\ \hline -2x & + & + &+ & 0 & - & -& - \\ x^2-1 & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ \hline -2x^3+2x & + & 0 & - & 0 & + & 0 & -\\ \end{array}\)

    Alltså då \(-1\leq x \leq 0\) eller då \(x\geq 1\).

  2. Bestäm de \(x\) så att \(x^3+x^2-6x <0\).

    \(x^3+x^2-6x=0\) ger oss att \(x(x^2+x-6)=0\). \(x=0\) och \(x^2+x-6=0\) då \(x=-3\) eller \(x=2\).

    Ett teckenschema ger följande

    \(\begin{array}{r|ccccccc} & &-3 & & 0 & & 2 \\ \hline x &- & - &- &0 &+ &+ & +\\ x^2+x-6 & + & 0 & - &- &- & 0 &+ \\ \hline x^3+x^2-6x & - & 0 & + & 0 & - & 0 & +\\ \end{array}\)

    Alltså då \(x<-3\) och \(0<x<2\).

  3. För vilka värden på \(x\) gäller att \(x^4+x^2>2\)?

    Börja med att lösa \(x^4+x^2-2=0\). Utnyttja dig av substitutionen \(t=x^2\).

    Vi får att \(t^2+t-2=0\) som har rötterna \(t=1\) och \(t=-2\). Vi kan skriva \(t^2+t-2=0\) som \((t-1)(t+2)=0\).

    Betyder att \(x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm 1\) och att \(x^2=-2\) som sakar rötter.

    När vi bildar ett teckenschema får vi följande

    \(\begin{array}{r|cccccc} & & -1 & & 1 & & \\ \hline x^2 -1 & + & 0 & - & 0 & + & \\ x^2+2 &+ & + & + & + & + \\ \hline (x^2-1)(x^2+2) &+ & 0 & - & 0 & + \\ \end{array}\)

    Alltså då \(x\leq -1\) eller då \(x\geq 1\).

  4. Lös olikheten \(4x^6-3x^4 -1 < -1\).

    Kommer du till ekvationen \(4x^6-3x^4=0\)? Tillämpa sedan nollregeln.

    Vi får att \(4x^6-3x^4 < 0\) och vi löser ekvationen \(4x^6-3x^4 =0 \Leftrightarrow x^4(4x^2-3)=0\). Alltså \(x^4 =0 \Leftrightarrow x=0\) eller \(4x^2-3 =0 \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

    Vi gör ett teckenschema och får följande

    \(\begin{array}{r|cccccccc} & & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & & 0 & & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \hline x^4 & +& + & + & 0 & + & + & + & \\ 4x^2-3 & + & 0 & - & - & - &0 & + \\ \hline 4x^6-3x^4 & + & 0 & - &0 &- & 0 & + \\ \end{array}\)

    Alltså då \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}<x< 0\) och \(0<x<\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

  5. *För vilka värden på \(x\) gäller att \(\dfrac{x^2-x}{x^2-1}>0\)?

    Fundera efter. Förhållande till noll, ekvation och teckenschema gör susen men fundera också på när kvoten är definierad.

    Vi undersöker täljaren och nämnaren skillt för sig.

    För täljaren gäller att \(x^2-x =0 \Leftrightarrow x(x-1)=0\) då \(x=0\) eller x=1.

    För nämnaren gäller att \(x^2-1 =0 \Leftrightarrow x=\pm 1\). Kvoten är inte definierad om nämnaren får värdet noll.

    Vi bildar ett teckenschema

    \(\begin{array}{r|ccccccc} & & -1 & & 0 & & 1 & \\ \hline x^2-x & + & +& + & 0 & - & 0 & + \\ x^2-1 & + & 0 & - & -& -& 0 & + \\ \hline \dfrac{x^2-x}{x^2-1}& + & \wr & - & 0 & + & \wr & + \\ \end{array}\)

    Kvoten är positiv då \(x<-1\), \(0<x<1\) och \(x>1\).

  6. *Lös olikheten \(\dfrac{-x^2+x+2}{x^3+2x^2-3x} > 0\).

    Förhållande till noll, nollställen och teckenschema. När är nämnaren definierad?

    Vi undersöker täljaren och nämnaren skillt för sig.

    För täljaren gäller att \(x-x^2+x+2 =0\) har nollställena \(x=-1\) och \(x=2\).

    För nämnaren gäller att \(x^3+2x^2-3x =0 \Leftrightarrow x(x^2+2x-3)=0\) som har nollställena \(x=0\), \(x=-3\) och \(x=1\).

    Vi bilar ett teckenschema

    \(\begin{array}{lr|cccccccccccc} & & & -3 & & -1 & & 0 & & 1 & & 2 & \\ \hline \text{täljaren: } &-x^2+x+2 & - & - &-& 0 & + & + & +&+&+& 0 & - & \\ & x & - &- &-&- &- & 0 & + & + & + & +& + &\\ & x^2+2x-3 & + & 0 & - & -& -& -&-& 0 & + & + & + & \\ \text{nämnaren: }& x(x^2+2x-3) & - & 0 & + & +& +& 0 & - & 0 & + &+ &+ & \\ \hline \text{kvoten: }& \dfrac{x^2+2x-3}{x(x^2+2x-3)} & + & \wr &- & 0 & + & \wr & - & \wr & + & 0 & - \\ \end{array}\)

    \(x<-3\), \(-1 < x <0\) och \(1<x2\).