MaA 2 Polynomekvationer och -funktioner

16. Repetition

Uppgifter

  1. Förenkla
    1. \((a-b)^2+2ab\)

      \((a-b)^2+2ab=a^2 -2ab+b^2 +2ab=a^2 + b^2\)
    2. \(a(a+b)-(a-b)(a+b)\)

      \(\begin{array}{rcl} a(a+b)-(a-b)(a+b) &=&a^2+ab-(a^2-b^2) \\ &=&a^2+ab-a^2+b^2 \\ &=&b^2+ab \\ \end{array}\)
    3. \(m(m+n)^2 -n(m^2-m)\)

      \(\begin{array}{rcl} m(m+n)^2 -n(m^2-m) &=& m(m^2+2mn+n^2)-m^2n+mn \\ &=&m^3+2m^2n+mn^2-m^2n+mn \\ &=&m^3+m^2n +mn^2 +mn \\ \end{array}\)
  2. Lös ekvationerna
    1. \(x^2-x-2=0\)

      Rotformeln ger oss att \(x=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 (-2)}}{2\cdot 1}\) som ger att \(x=2\) eller \(x=-1\).
    2. \(x^2-2x = -1\)

      Rotformeln ger \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}\) ger \(x=1\).

      Eller sedan som \(x^2-2x +1= 0 \Leftrightarrow (x-1)^2=0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1\).

    3. \(-x^2-4x-4=0\)

      Rotformeln ger oss att \(x=\dfrac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4(-1)(-4)}}{2(-1)}\) som betyder att \(x=-2\).

      Vi kan även lösa den som \(-x^2-4x-4=0 \Leftrightarrow x^2+4x+4=0 \Leftrightarrow (x+2)^2=0 \Leftrightarrow x+2=0 \Leftrightarrow x=-2\).

  3. Bestäm antalet rötter för ekvationerna genom att undersöka diskriminanten.
    PåståendeNoll rötter. En rot. Två rötter.
    \(x^2+4x+3 = 0\)
    \(x^2-6x+9=0\)
    \(x^2-2x=-2\)

    PåståendeNoll rötter. En rot. Två rötter.
    \(x^2+4x+3 = 0\) X
    \(x^2-6x+9=0\) X
    \(x^2-2x=-2\) X
  4. Diskutera med din bänkkamrat och kom på ett recept hur man bestämmer nollställena för en funktion. Diskutera igenom följande situationer då funktionen är

    1. \(f(x)=3x-6\)
    2. \(g(x)=2x^2-8\)
    3. \(h(x)=3x^2-6x\)
    4. \(i(x)=x^2-3x+2\)

    Lös tillsammans nollställena för funktionerna.

    1. \(f(x)=3x-6\) genom att lösa
    2. \(g(x)=2x^2-8\)
    3. \(h(x)=3x^2-6x\)
    4. \(i(x)=x^2-3x+2\)
  5. Lös olikheterna
    1. \(-3x-1 <-5x\)

      \(\begin{array}{rcl} -3x-1 &<&-5x \\ -3x+5x &<&1 \\ 2x &<& 1 \\ x &<& \dfrac{1}{2}\\ \end{array}\)
    2. \(x(3-x)>2\)

      \(x(3-x)>2 \Leftrightarrow -x^2+3x-2>0\). Ekvationen \(-x^2+3x-2 =0\) har lösningarna \(x=1\) och \(x=2\).

      Skiss av parabeln eller teckenschema ger att \(1<x<2\).

    3. \((x-1)^2 < 2(1-x)\)

      \((x-1)^2 < 2(1-x) \Leftrightarrow x^2-2x+1 < 2-2x \Leftrightarrow x^2 < 1\) som sker då \(-1<x<1\).
  6. Lös följande olikheter
    1. \(2x-3 < 3-2x\)

      \(2x-3 < 3-2x \Leftrightarrow 4x< 6 \Leftrightarrow x<\dfrac{3}{2}\)
    2. \((x+1)^2 \leq 1\)

      \((x+1)^2 \leq 1 \Leftrightarrow x^2+2x+1 \leq 1 \Leftrightarrow x^2+2x \leq 0\). Ekvationen \(x^2+2x=0\) har lösningarna \(x=0\) och \(x=-2\).

      Då vi skissar upp parabeln får vi att \(-2\leq x \leq 0\).

    3. *\(x^3 < x^2\)

      \(x^3 < x^2 \Leftrightarrow x^3-x^2 < 0\). Ekvationen \(x^3-x^2=0 \Leftrightarrow x^2(x-1)=0\) har lösningarna \(x=0\) och \(x=1\).

      Teckenschema ger följande

      \(\begin{array}{r|ccccc} & & 0 & & 1 & \\ \hline x^2 & + & 0 & + & + &+ \\ x-1 & - & - & - & 0 & + \\ \hline x^3-x^2 & - & 0 & - & 0 & +\\ \end{array}\)

      Vi får att \(x<0\) eller \(0<x<1\).

  7. För vilka värden på \(a\) får funktionen \(f(x)=-x^2+ax+a-3\) endast negativa värden?

    En hurdan funktion har du? Hur skall den placeras så att kriteriet uppfylls?

    Vi har en parabel som öppnar sig nedåt. Betyder att funktionen inte får skära \(x\)-axeln. Det sker då ekvationen \(f(x)=0\) saknar rötter.

    Alltså \(-x^2+ax+a-3=0\) skall sakna rötter. Det sker då \(D=b^2-4ad = a^2-4(-1)(a-3)<0\).

    Vi får olikheten \(a^2+4a-12<0\) som vi löser genom att lösa ekvationen \(a^2-4a-12=0\) som har rötterna \(a=-6\) och \(a=2\).

    Då vi skissar upp parabeln får vi svaret \(-6<a<2\).

  8. För vilka värden på \(a\) gäller att ekvationen \(ax^2+a=1\) har två rötter.

    Ekvationen \(ax^2+a=1 \Leftrightarrow ax^2+a-1=0\).

    Om denna ekvation skall ha två rötter gäller det att diskriminanten skall vara positiv. \(D=b^2-4ac = a^2-4\cdot a(-1) <0 \Leftrightarrow a^2+4a<0\). Ekvationen \(a^2+4a=0\) har rötterna \(a=0\) och \(a=-4\).

    Då vi skissar upp parabeln får vi att \(-4<a<0\).

  9. För vilka värden på \(a\) har ekvationen \(x^2-ax+2=1\) endast en rot?

    \(x^2-ax+2=1\Leftrightarrow x^2-ax+1=0\). Då ekvationen skall ha endast en rot gäller det att diskriminanten skall ha värdet 0.

    Alltså \(D=b^2-4ac = (-a)^2-4\cdot 1 \cdot 1 =0 \Leftrightarrow a^2-4=0\) som har lösningarna \(a=\pm 2\).

  10. *Lös olikheten \(\dfrac{x^2+7x+2}{x-3}>1\).

    Vi får att \(\dfrac{x^2+7x+2}{x-3} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+6x+5}{x-3} > 0\).

    Vi undersöker täljaren och nämnaren skillt.

    Täljaren: \(x^2+6x+5 =0\) då \(x=-5\) och \(x=-1\).

    Nämnaren : \(x-3=0\) då \(x=3\).

    Vi bildar ett teckenschema

    \(\begin{array}{c|ccccccc} & & -5 & & -1 & & 3 & \\ x^2+6x+5 & + & 0 & - & 0 &+ &+ & + \\ x-3 & - & - & - & - & -& 0 & + \\ \hline \dfrac{x^2+6x+5}{x-3} & - & 0 & + & 0 & - & \wr & + \\ \end{array}\)

    Alltså då \(-5<x<-1\) eller \(x>3\).

  11. *Visa att då \(a\) och \(b\) är positiva tal så gäller att \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2\). Visa dessutom att likheten gäller endast om \(a=b\).

    Förenkla modigt och lös på.

    \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2 \mid \cdot ab\)

    \(a^2 +b^2 \geq 2ab\)

    \(a^2-2ab+b^2 \geq 0\)

    \((a-b)^2 \geq 0\) eftersom en kvadrat alltid är positiv. Om kvadraten skall ha värdet 0 måste \(a =b\).

  12. Bryt ut och förenkla

    Tänk via kvadreringsregel, konjugatregel och utbrytning. Försök, försök, försök.
    1. \(x^3+x^2+x+1\)

      \(x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1)+1(x+1)=(x+1)(x^2+1)\)
    2. *\(a^2-b^2-c^2+2bc\)

      \(a^2-b^2-c^2+2bc = a^2-(b-c)^2 = (a-b+c)(a+b-c)\)
    3. \(a^2-b^2+ac+bc\)

      \(a^2-b^2+ac+bc = (a+b)(a-b)+c(a+b) = (a+b)(a-b+c)\)