MaA 2 Polynomekvationer och -funktioner

3. Kvadreringsregeln

Vi förenklar följande uttryck tillsammans:

  1. \((2+x)^2\)
  2. \((a+b)^2\)
  3. \((-1+a)^2\)

För att enkelt förenkla kvadraten av ett binom, \((a+b)^2\) använder vi oss av kvaderingsregeln. Kvadreringsregel skriver vi som \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Ibland ser man även \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). En del trinom kan vi skriva som kvadrater, faktorisera med hjälp av kvadreringsregeln, tex \(x^2-4x+4\) som \((x^2-2)^2\).

Exempel 1 Fyll i så att det blir rätt:

  1. \((x\underline{\qquad})^2 = x^2 -4x\underline{\qquad\qquad}\)
  2. \((2x\underline{\qquad})^2 = 4x^2 + x \underline{\qquad}\)

Kvadrering av ett binom räknar vi som

\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\).

Uppgifter

  1. Berätta om fördelen med kvadreringsregeln.

    Vi kan på ett lätt sätt kvadrera ett binom.
  2. Kombinera så att det blir rätt.

    Välj bland följande uttryck: \((x-3)^2\), \((x-2)^2\), \((x-1)^2\), \((x+1)^2\), \((x+2)^2\) och \((x+3)^2\).

    \(x^2+4x+4\)
    \(x^2-4x+4\)
    \(x^2+2x+1\)
    \(x^2-2x+1\)
    \(x^2+6x+9\)
    \(x^2-6x+9\)

    \((x+2)^2\)\(x^2+4x+4\)
    \((x-2)^2\)\(x^2-4x+4\)
    \((x+1)^2\)\(x^2+2x+1\)
    \((x-1)^2\)\(x^2-2x+1\)
    \((x+3)^2\)\(x^2+6x+9\)
    \((x-3)^2\)\(x^2-6x+9\)
  3. Kvadrera följande uttryck
    1. \((2+n)^2 \)

      \((2+n)^2 = n^2+4n +4 \)
    2. \((3-n)^2 \)

      \((3-n)^2 = 9-6n+n^2 \)
    3. \((x-y)^2 \)

      \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \)
  4. Kvadrera
    1. \((x+\dfrac{1}{4})^2 \)

      \((x+\dfrac{1}{4})^2 = x^2 +\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{16} \)
    2. \((x-2y)^2 \)

      \((x-2y)^2 = x^2-4xy+4y^2 \)
    3. \((\dfrac{1}{3}-b)^2 \)

      \((\dfrac{1}{3}-b)^2 = \dfrac{1}{9}-\dfrac{2b}{3}+b^2 \)
  5. * Kvadrera
    1. \((m-\sqrt{2})^2 \)

      \((m-\sqrt{2})^2 = m^2-2\sqrt{2}m+2 \)
    2. \((\dfrac{1}{2}x-2)^2 \)

      \((\dfrac{1}{2}x-2)^2 = \dfrac{1}{4}x^2 -2x +4 \)
    3. \((2a-5b)^2 \)

      \((2a-5b)^2 = 4a^2-20ab+25b^2 \)
  6. Fyll i fältet så att det blir rätt. Glöm inte tecknet framför talet!
    1. \((x \underline{\qquad} )^2 = x^2 +12x \underline{\qquad} \)

      \((x \underline{+6})^2 = x^2 +12x \underline{+36} \)
    2. \((x \underline{\qquad})^2 = x^2 -16x \underline{\qquad} \)

      \((x \underline{-8})^2 = x^2 -16x \underline{+64} \)
    3. \((x \underline{\qquad} )^2 = x^2 +x \underline{\qquad} \)

      \((x \underline{+\dfrac{1}{2}} )^2 = x^2 +x \underline{+\dfrac{1}{4}} \)
    4. \((x \underline{\qquad} )^2 = x^2 -4x \underline{\qquad} \)

      \((x \underline{-2} )^2 = x^2 -4x \underline{+4} \)
  7. Fyll i så att det blir rätt.
    1. \((\underline{\qquad})^2 = \underline{\qquad} 2x+1 \)

      \((\underline{x \pm 1})^2 = \underline{x^2} \pm 2x+1\)
    2. \((\underline{\qquad})^2 = 4x^2 \underline{\qquad} \dfrac{1}{4} \)

      \((\underline{2x\pm \dfrac{1}{2}})^2 = 4x^2 \underline{\pm 2x} +\dfrac{1}{4}\)
    3. \((\underline{\qquad}x\underline{\qquad})^2 = 2x^2 + x \underline{\qquad} \)

      \((\underline{\sqrt{2}}x\underline{+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}})^2 = 2x^2 + x +\underline{\dfrac{1}{8}}\)
    4. \((\underline{\qquad}x\underline{\qquad})^2 = 4x^2 - 4 x \underline{\qquad} \)

      \((\underline{2}x\underline{-1})^2 = 4x^2 - 4 x \underline{+1}\)
  8. *Skriv som en kvadrat.
    1. \(x^2+6x+9\)

      \(x^2+6x+9 = (x+3)^2\)
    2. \(x^2-2x+1\)

      \(x^2-2x+1 = (x-1)^2\)
    3. \(16x^2+4x+\dfrac{1}{4}\)

      \(16x^2+4x+\dfrac{1}{4} = (4x+\dfrac{1}{2})^2\)
    4. \(4x^2-8x+4\)

      \(4x^2-8x+4 = (2x-2)^2\)
    5. \(x^4-8x^2+16\)

      \(8x^2+16 = (x^2-4)^2\)