MaA 2 Polynomekvationer och -funktioner

4. Konjugatregeln

Bestäm

  1. \((2-x)(2+x)\)
  2. \((x+y)(x-y)\)
  3. \((a-3)(a+3)\)

Då vi har multiplikation av binom där ena termen är motsatt term, \((a-b)(a+b)\), använder vi oss av konjugatregeln. Konjugatregeln handlar om att multiplicera två binom där endast tecknet skiljer dem åt, \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

Vi kan även utnyttja konjugatregeln för att faktorisera, räkna baklänges.

Exempel 1 Skriv som två binom:

  1. \(4-a^2\)
  2. \(1-x\)

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Uppgifter

  1. Varför använder vi oss av konjugatregeln?

    Vi kan på ett enkelt sätt multiplicera två binom, tex \((3-a)(3+a)\). Nackdelen är att binomena skall nästan vara identiska.

    Med hjälp av konjugatregeln kan vi enkelt faktorisera ett binom vars ena term är negativt, tex \(4-a^2=(2-a)(2+a)\).

  2. Kombinera så att de blir rätt.

    Välj av följande uttryck: \((x+5)(x-5)\), \((x+4)(x-4)\), \((x+3)(x-3)\), \((x+2)(x-2)\) och \((x+1)(x-1)\).

    \(x^2-1\)
    \(x^2-4\)
    \(x^2-9\)
    \(x^2-16\)
    \(x^2-25\)

    \((x+1)(x-1)\)\(x^2-1\)
    \((x+2)(x-2)\)\(x^2-4\)
    \((x+3)(x-3)\)\(x^2-9\)
    \((x+4)(x-4)\)\(x^2-16\)
    \((x+5)(x-5)\)\(x^2-25\)
  3. Beräkna
    1. \((x+1)(x-1) \)

      \((x+1)(x-1) = x^2-1 \)
    2. \((b-2)(b+2) \)

      \((b-2)(b+2)=b^2-4 \)
    3. \((3-a)(3+a) \)

      \((3-a)(3+a)=9-a^2 \)
  4. Bestäm
    1. \((x-y)(x+y) \)

      \((x-y)(x+y)=x^2-y^2 \)
    2. \((a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2}) \)

      \((a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2}) = a^2-2 \)
    3. \((\dfrac{2}{3}-a)(\dfrac{2}{3}+a) \)

      \((\dfrac{2}{3}-a)(\dfrac{2}{3}+a) = \dfrac{4}{9}-a^2 \)
  5. Faktorisera (skriv som två parenteser)
    1. \(9-x^2 \)

      \(9-x^2 = (3-x)(3+x) \)
    2. \(a^2-1 \)

      \(a^2-1 = (a-1)(a+1) \)
    3. \(4-b^2 \)

      \(4-b^2 = (2+b)(2-b) \)
  6. *Faktorisera
    1. \(1-a^2 \)

      \(1-a^2=(1+a)(1-a) \)
    2. \(7-a^2 \)

      \(7-a^2 = (\sqrt{7}+a)(\sqrt{7}-a) \)
    3. \(x-2 \)

      \(x-2 = (\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2}) \)
  7. *Bestäm utan räknare.
    1. \(101^2 - 100^2 \)

      \(101^2-100^2 = (101+100)(101-100)=201 \cdot 1 = 201 \)
    2. \(101^2 - 99^2 \)

      \(101^2-99^2 =(101+99)(101-99) = 200\cdot 2 = 400 \)
    3. \(59 \cdot 61 \)

      \(59 \cdot 61 = (60-1)(60+1)=60^2 -1^2 = 3600-1=3599 \)
    4. \(98 \cdot 102 \)

      \(98 \cdot 102 =(100-2)(100+2) =100^2-2^2 = 10000-4 = 9996 \)