MaA 2 Polynomekvationer och -funktioner

5. Pascals triangel

Följande är något som vi kan använda då vi förenklar binom, parenteser med två termer, som är högre än andra grad.

Vi undersöker följande binom

  1. \((a+1)^1\)
  2. \((a+1)^2\)
  3. \((a+1)^3\)
  4. \((a+1)^4\).

Lösning

  1. Vi får att

    \((a+1)^1 = a+1\)

  2. Vi får att

    \((a+1)^2 = a^2+2a+1\)

  3. Vi får att

    \(\begin{array}{rcl} (a+1)^3 &=& (a+1)(a+1)^2 \\ &=& (a+1)(a^2+2a+1) \\ &=&a^3+2a^2+a+1+a^2+2a+1 \\ &=& a^3+3a^2+3a+1 \\ \end{array}\)

  4. Vi får att

    \(\begin{array}{rcl} (a+1)^4 &=& (a+1)(a+1)^3 \\ &=& (a+1)(a^3+3a^2+3a+1)\\ &=&a^4 +3a^3+3a^2+1 + a^3+3a^2+3a+1 \\ &=& a^4 + 3a^3+6a^2+3a+1 \\ \end{array}\)

Koefficienterna, talen framför bokstäverna, följer ett visst mönster. Samma mönster hittar vi i Pascals triangel. Hur Pascals triagnel byggs upp framkommer i videon.

Pascals triangel

När vi höjer upp binom i tredje, fjärde eller högre grad än det lönar det sig att utnyttja Pascals triangel, eftersom den ger koefficienterna för termerna.

Exempel 1 Förenkla \((2x-1)^3\).

Lösning

Termerna är \(2x\) och \(-1\). Eftersom vi upphöjer till 3 är koefficienterna 1, 3, 3 och 1.

Vi får att

\(\begin{array}{rcl} (2x-1)^3 &=& 1\cdot (2x)^3(-1)^0 + 3\cdot(2x)^2(-1)^1+3\cdot(2x)^1(-1)^2+1\cdot(2x)^0(-1)^3 \\ &=& 8x^3 -12x^2+6x-1\\ \end{array}\)

För varje term, \(1\cdot (2x)^3(-1)^0\), märker vi att summan av exponenterna alltid är 3.

När du förenklar och utvecklar binom som är upphöjt till ett gradtal högre än två lönar det sig att utnyttja Pascals triangel.

Uppgifter

  1. Vad är fördelen med binomialformeln och Pascals triangel?

    Vi kan på ett lätt sätt utveckla binom upphöjt till något heltal, tex \((4-a)^5\), utan att räkna det som många parenteser gånger varandra.
  2. Bestäm koefficienterna för
    1. 4:e raden, \((\quad)^3\).

      Koefficienterna är 1, 3, 3 och 1.
    2. 5:e raden, \((\quad)^4\).

      Koefficienterna är 1, 4, 6, 4 och 1.
    3. 6:e raden, \((\quad)^5\).

      Koefficienterna är 1, 5, 10, 10, 5 och 1.
    4. 7:e raden, \((\quad)^6\).

      Koefficienterna är 1, 6, 15, 20, 15, 6 och 1.
  3. Bestäm
    1. \((2+a)^3 \)

      \((2+a)^3 = 2^3+3\cdot 2^2\cdot a^1 +3\cdot 2\cdot a^2 +a^3 = a^3+6a^2+12a+8 \)
    2. \((a+2)^4 \)

      \((a+2)^4 = a^4 +4\cdot a^3 \cdot 2 + 6 a^2 \cdot 2^2 + 4a\cdot 2^3 + 2^4 = a^4 +8a^3+24a^2+32a+16 \)
    3. \((2+a)^5 \)

      \(\begin{array}{rcl} (2+a)^5 &=& 1\cdot 2^5\cdot a^0 +5\cdot 2^4\cdot a^1+10\cdot 2^3\cdot a^2+10\cdot 2^2\cdot a^3+5\cdot 2^1\cdot a^4+1\cdot 2^0\cdot a^5 \\ &=& 32+80a+80a^2+40a^3+10a^4+a^5\\ \end{array}\)
    4. \((a+2)^6 \)

      \(\begin{array}{rcl} (a+2)^6 &=& 1\cdot a^6 \cdot 2^0 +6 \cdot a^5 \cdot 2^1 +15 \cdot a^4 \cdot 2^2 +20 \cdot a^3 \cdot 2^3 +15 \cdot a^2 \cdot 2^4 +6 \cdot a^1 \cdot 2^5 + 1 \cdot a^0 \cdot 2^6 \\ &=& a^6 +12a^5+60a^4 +160a^3 +240a^2+192a+64\\ \end{array} \)
  4. *Bestäm
    1. \((3-b)^3 \)

      \((3-b)^3 = 3^3 +3\cdot 3^2 \cdot (-b) + 3\cdot 3 \cdot (-b)^2 +(-b)^3 = -b^3 + 9b^2 -27b+27 \)
    2. \((b-3)^4 \)

      \(\begin{array}{rcl} (b-3)^4 &=& 1 \cdot b^4 (-3)^0 + 4\cdot b^3 (-3)^1 +6\cdot b^2 (-3)^2 + 4\cdot b^1 (-3)^3 +1 \cdot b^0 (-3)^5 \\ &=& b^4 -12b^3+54b^2-108b-243 \end{array} \)
    3. \((3-b)^5 \)

      \(\begin{array}{rcl} (3-b)^5 &=& 1 \cdot 3^5(-b)^0 +5 \cdot 3^4(-b)^1 +10\cdot 3^3(-b)^2+10\cdot 3^2(-b)^3 +5\cdot 3^1(-b)^4 +1 \cdot 3^0(-b)^5 \\ &=& 243-405b+270b^2-90b^3+15b^4-b^5\\ \end{array} \)
    4. \((b-3)^6 \)

      \(\begin{array}{rcl} (b-3)^6 &=& 1 \cdot b^6(-3)^0 +6\cdot b^5(-3)^1+15 \cdot b^4(-3)^2 +20 \cdot b^3(-3)^3 +15\cdot b^2(-3)^4+6\cdot b^1(-3)^5 + 1 \cdot b^0(-3)^6 \\ &=&b^6-18b^5+153b^4-540b^3+1215b^2-1458b+729\\ \end{array} \)