MaA 4 Vektorer

10. Geometriskt plan i rymden

Ett geometriskt plan spänns upp av tre punkter. Med dessa tre punkter kan vi bilda två basvektorer som spänner upp samma plan.

Exempel 1 Är punkten \(P=(16,1,33)\) i planet som spänns upp av punkterna \((-1,2,-3)\), \((4,-5,2)\) och \((2,-1,1)\)?

Lösning

Vi skissar upp följande bild:

Om \(P\) ligger i planet så kan vi uttrycka \(\overrightarrow{AP}\) som komponenter av \(\overrightarrow{AB}\) och \(\overrightarrow{AC}\), alltså \(\overrightarrow{AP}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}\).

Vi bildar vektorerna,

\(\begin{array}{l} \overrightarrow{AP} = (16-(-1)\overline{i}+(1-2)\overline{j}+(33-(-3))\overline{k} = 17\overline{i}-\overline{j}+36\overline{k} \\ \overrightarrow{AB} = (4-(-1)\overline{i}+(-5-2)\overline{j}+(2-(-3))\overline{k} = 5\overline{i}-7\overline{j}+5\overline{k} \\ \overrightarrow{AC} = (2-(-1)\overline{i}+(-1-2)\overline{j}+(1-(-3))\overline{k} = 3\overline{i}-3\overline{j}+4\overline{k} \\ \end{array}\)

Vi får att:

\(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AP} &=& r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC} \\ 17\overline{i}-\overline{j}+36\overline{k} &=& r[5\overline{i}-7\overline{j}+5\overline{k}]+s[3\overline{i}-3\overline{j}+4\overline{k}] \\ 17\overline{i}-\overline{j}+36\overline{k} &=& (5r+3s)\overline{i}+(-7r-3s)\overline{j}+(5r+4s)\overline{k} \\ \end{array}\)

Uppdelning i bas är entydig och vi får

\(\left\{ \begin{array}{rcl} 17 &=& 5r+3s \\ -1 &=&-7r-3s \\ 36&=& 5r+4s \\ \end{array} \right.\)

Den första och tredje ekvationen ger oss

\(\left\{ \begin{array}{rcl} 17 &=& 5r+3s \\ 36&=& 5r+4s \\ \end{array} \right.\)

som har lösningarna \(r=-8\) och \(s=19\). Då vi sätter in värdena i den andra ekvationen, \(-1 =-7r-3s = -7(-8)-3\cdot 19 = 56-57\) som stämmer. (Vi kan lösa hela ekvationssystemet med räknare och konstatera att ekvationerna satisfierar varandra.)

Vi kan alltså skriva \(\overrightarrow{AP}\) som komponenter av \(\overrightarrow{AB}\) och \(\overrightarrow{AC}\). Punkten \(P\) ligger alltså i planet.

Ett geometriskt plan spänns upp av en punkt A och basvektorerna \(\overline{u}\) och \(\overline{v}\). Om punkten P finns i planet kan vi uttrycka \(\overrightarrow{AP}\) som komponenter av \(\overline{u}\) och \(\overline{v}\), dvs \(\overrightarrow{AP}=r\overline{u}+s\overline{v}\) där \(r\) och \(s\) är reella tal.

Utnyttjar vi ortsvektorerna \(\overrightarrow{OA}\) och \(\overrightarrow{OP}\) blir villkoret att \(\overrightarrow{OP}= \overrightarrow{OA} + r\overline{u}+s\overline{v}\) där \(r\) och \(s\) är reella tal.

Vi kallar detta för planets ekvation i parameterform.

Exempel 2 Ett plan går igenom punkten \((-1,2,1)\) och spänns upp av vektorerna \(\overline{u}= 5\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}\) och \(\overline{v} = -\overline{i}-\overline{j}-2\overline{k}\). För vilka villkor gäller att punkten \(P=(x,y,z)\) är i planet? I vilken punkt skär planet x-axeln?

Lösning

Vi skissar upp följande bild:

Punkten \(P\) är i planet om villkoret \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\overline{u}+s\overline{v}\) gäller.

\(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OP} &=& \overrightarrow{OA}+r\overline{u}+s\overline{v} \\ x \overline{i} + y \overline{j} + z \overline{k} &=& -\overline{i}+2\overline{j}+\overline{k}+r[5\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}]+s[-\overline{i}-\overline{j}-2\overline{k}] \\ x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k} &=& (-1+5r-s)\overline{i}+(2+r-s)\overline{j}+(1+r-2s)\overline{k} \\ \end{array}\)

För att \(x\), \(y\) och \(z\) skall vara i planet gäller att

\(\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& -1+5r-s \\ y &=& 2+r-s \\ z &=& 1+r-2s \\ \end{array} \right.\)

för reella värden på \(r\) och \(s\).

Planet skär \(x\)-axeln då \(y=0\) och \(z=0\). Vi får att

\(\left\{ \begin{array}{rcl} 0 &=& 2+r-s \\ 0 &=& 1+r-2s \\ \end{array} \right.\)

som har lösningarna \(r=-3\) och \(s=-1\). De ger att \(x=-1+5(-3)-(-1)=-15\). Skärningspunkten är \((-15,0,0)\).

Uppgifter

  1. Ett plan spänns upp av punkterna \((1,0,1)\), \((0,1,-1)\) och \((-1,-1,0)\). Är följande punkter i planet?

    Bilda en ekvation för planet och testa om punkterna satisfierar ekvationen. Se vid behov exempel 1.
    1. \((3,2,1)\) .

      Ja
    2. \((5,2,2)\)

      Nej
  2. I vilken punkt skär linjen som går genom origo och \((1,1,4)\) planet som spänns upp av \((1,3,-1)\), \((2,4,0)\) och \((1,5,3)\).

    Skärningspunkten är \((-2,-2,-8)\).
  3. I vilken punkt skär planet som spänns upp av punkterna \((-2,1,-1)\), \((1,2,-2)\) och \((1,-2,1)\) \(x\)-axeln?

    Punkten är \((-5,0,0)\)
  4. Punkterna \((-1,3,1)\), \((2,-2,1)\) och \((-1,-2,-1)\) spänner upp ett plan. Planet skär \(xy\)-planet i form av en linje. Bestäm linjens ekvation som formen \(Ax+By+C=0\).

    \(10x+6y+7=0\).
  5. Varje ekvation av formen \(Ax+By+Cz+D=0\) där \(A\), \(B\) eller \(C\) inte har värdet noll representerar ett plan. Detta kallas för planet ekvation i normalform. Ett sätt att skapa denna ekvation är att först skapa planets ekvation i parameterform och sedan eliminera \(r\) och \(s\).

    Bestäm planets ekvation i normalform för det plan som spänns upp av

    Bilda ett ekvationssystem där du har

    \(\left\{\begin{array}{rcl} x &=& \ldots \\ y &=& \ldots \\ z &=& \ldots \\ \end{array}\right.\)

    tag sedan och eliminera \(r\) och \(s\).

    1. \((-2,0,1)\), \((-1,2,-1)\) och \((1,1,-4)\).

      \(8x-y-5z-11=0\)
    2. \((1,-1,-2)\), \((0,3,1)\) och \((3,-2,-1)\)

      \(x+y-z-2=0\)