MaA 4 Vektorer

11. Skalär produkt

Vi börjar med att studera när vektorerna \(\overline{a}=x_1\overline{i}+y_1\overline{j}+z_1\overline{k}\) och \(\overline{b}=x_2\overline{i}+y_2\overline{j}+z_2\overline{k}\) är vinkelräta. Vi gör det via Pythagoras sats.

Vi placerar \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) så att de börjar i samma punkt.

Om triangeln är rätvinklig så gäller att \(\mid \overline{a}-\overline{b} \mid ^2 = \mid \overline{a}\mid ^2 +\mid \overline{b} \mid ^2\).

Vi tar och bildar dessa. \(\mid \overline{a} \mid ^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2\) och \(\mid \overline{b} \mid ^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2\).

Kvadraten av den tredje längden får vi som

\(\begin{array}{rcl} \mid \overline{a}-\overline{b} \mid ^2\ & = & (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2 \\ & = & x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 + y_1^2-2y_1y_2 + y_2^2 + z_1^2 -2z_1z_2+z_2^2 \\ & = & x_1^2+y_1^2+z_1^2 +x_2^2+y_2^2+z_2^2 -2x_1x_2 -2y_1y_2-2z_1z_2 \\ & = & \mid \overline{a} \mid ^2 + \mid \overline{b} \mid ^2 -2(x_1x_2 + y_1y_2+z_1z_2) \\ \end{array} \)

För att \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) skall vara vinkelräta mot varandra så skall termen \(2(x_1x_2 + y_1y_2+z_1z_2)\) ha värdet noll.

Exempel 1 Är vektorerna \(-\overline{i}+2\overline{j} -2\overline{k}\) och \(4\overline{i}+\overline{j} -\overline{k}\) vinkelräta mot varandra?

Lösning

Jo, eftersom \(-1\cdot 4 + 2\cdot 1 -2(-1)=0\).

Den skalära produkten mellan vektorerna \(\overline{a}=x_1\overline{i}+y_1\overline{j}+z_1\overline{k}\) och \(\overline{b}=x_2\overline{i}+y_2\overline{j}+z_2\overline{k}\) är \(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\).

Den skalära produkten betecknas \(\overline{a} \cdot \overline{b}\) och utläses "a skalärt b".

Om två vektorer är vinkelräta har den skalära produkten värdet noll.

Exempel 2 Bestäm den skalära produkten för \(\overline{a}=2\overline{i}-\overline{j}\) och \(\overline{b}= -\overline{i}+2\overline{j} -2\overline{k}\).

Lösning

\(\overline{a} \cdot \overline{b}=2(-1) -1\cdot 2 + 0(-2)=-4\).

Exempel 3 Bestäm \(k\) så att \(\overline{a}=3\overline{i}-2\overline{j}\) och \(\overline{b}= k\overline{i}+\overline{j}\) är vinkeräta.

Lösning

Vi får att \(\overline{a}\cdot \overline{b}=0\). Alltså

\(\begin{array}{rcl} 3k-2\cdot1 & = & 0 \\ 3k & = & 2 \\ k & = & \frac{2}{3} \\ \end{array}\)

För den skalära produkten gäller följande egenskaper:

Kommutativ\(\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{b} \cdot \overline{a}\)
Distributiv\(\overline{a} \cdot (\overline{b} +\overline{c}) = \overline{a} \cdot \overline{b} +\overline{a} \cdot \overline{c}\) Om \(\overline{a}\cdot \overline{b}=2\) och \(\overline{a}\cdot \overline{c}=-4\) så är \(\overline{a}(\overline{b}+\overline{c}) = \overline{a}\cdot \overline{b} + \overline{a}\cdot \overline{c} = 2+(-4)=-2\).
Utflyttning av koefficienter\((s\overline{a}) \cdot \overline{b} = \overline{a} \cdot (s\overline{b}) = s(\overline{a} \cdot \overline{b})\)Om \(\overline{a} \cdot \overline{b} = 5\) så är \((-4\overline{a}) \cdot \overline{b} = -4(\overline{a} \cdot \overline{b}) = -4 \cdot 5 = -20\) och \(2\overline{a} \cdot (-3\overline{b}) = 2\cdot(-3)(\overline{a} \cdot \overline{b})=-6 \cdot (-5)=30\).
Punktprodukten\(\overline{a}\cdot \overline{a} = \mid \overline{a} \mid^2\)Punktprodukten av \(\overline{a}\cdot \overline{a}\) ger längden av \(\overline{a}\) i kvadrat.

Uppgifter

  1. Bestäm den skalära produkten för
    1. \(3\overline{i}+\overline{j}\) och \(\overline{i}+2\overline{j}\).

      \( 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5 \)

    2. \(3\overline{i}-\overline{j}\) och \(-3\overline{i}+\overline{j}\).

      \( 3(-3) + -1\cdot 1 = -10\)

    3. \(2\overline{i}\) och \(\overline{i}+2\overline{j}\).

      \( 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 2\)

  2. Är triangeln som består av vektorerna \(\overline{a}=\overline{i}-\overline{j}\), \(\overline{b}=-3\overline{i}-5\overline{j}\) och skillnaden av dessa rätvinklig?

    Ja. Vi bestämmer de skalära produkterna. Vi behöver \( \overline{c} = \overline{a}-\overline{b}= 4\overline{i} +4\overline{j}\).

    \( \overline{a} \cdot \overline{b} = 1\cdot(-3)+(-1)(-5) = 2\). Dessa är inte vinkelräta.

    \( \overline{a} \cdot \overline{c} = 1\cdot 4 +(-1)\cdot 4 = 0\). Dessa är vinkelräta.

    \( \overline{b} \cdot \overline{c} = -3\cdot 4 +(-5)\cdot 4 = -32\). Dessa är inte vinkelräta.

    Eftersom vi har en triangel så räcker det med att hitta en rät vinkel.

  3. Är triangeln ABC som bestäms av punkterna \((-2,2)\), \((-1,5)\) och \((4,0)\) rätvinklig?

    Ja, rät vinkel vid punkten \((-2,2)\).
  4. Bestäm \(k\) så att triangeln som bestäms av punkterna \((-4,1)\), \((k,4)\) och \((-3,6)\) är rätvinklig.

    \(k = -1 \) eller\(k = -6 \).
  5. Bestäm för linjen \(2x-6y-6=0\)
    1. en riktningsvektor

      \(3\overline{i}+\overline{j}\) eller \(-3\overline{i}-\overline{j}\) och multiplar av dessa.
    2. en normalvektor (en vektor som bildar en normal)

      \(-\overline{i}+3\overline{j}\) eller \(\overline{i}-3\overline{j}\) och multiplar av dessa.
    3. en normalvektor vars längd är 1

      \(\dfrac{1}{\sqrt{10}}(-\overline{i}+3\overline{j})\) eller \(\dfrac{1}{\sqrt{10}}(\overline{i}-3\overline{j})\).
    4. en normalvektor vars längd är 10.

      \(\sqrt{10}(-\overline{i}+3\overline{j})\) eller \(\sqrt{10}(\overline{i}-3\overline{j})\).

  6. Hitta i alla fall fyra vektorer som alla har olika längd som är vinkelräta mot \(\overline{a}=\overline{i}+2\overline{j}+\overline{k}\).

    Tex: \(-\overline{j}+2\overline{k}\), \(\overline{i}-\overline{k}\), \(-4\overline{i}+2\overline{j}\) och \(-4\overline{i}+\overline{j}+2\overline{k}\).