MaA 4 Vektorer

12. Geometrisk tolkning av skalär produkt

Nu tar vi och utgår från vektorer men vi kombinerar dem med cosinussatsen, \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\), för att komma åt skalära produkten.

Härledning

Vi har \(\overline{a}=x_1\overline{i}+y_1\overline{j}+z_1\overline{k}\) och \(\overline{b}=x_2\overline{i}+y_2\overline{j}+z_2\overline{k}\).

Eftersom vi placerar \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) så att de börjar i samma punkt så är den längre sidan \(\mid \overline{a}-\overline{b}\mid\).

Då vi skriver om cosiunssatsen så att den passar vår triangel får vi att \(\mid \overline{a}-\overline{b}\mid^2=\mid\overline{a}\mid^2+\mid\overline{b}\mid^2-2\mid\overline{a}\mid\mid\overline{b}\mid\cos\alpha\).

Längderna av de kortare sidorna är \(\mid \overline{a} \mid ^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2\) och \(\mid \overline{b} \mid ^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2\).

Kvadraten av den tredje längden är

\(\begin{array}{rcl} \mid \overline{a}-\overline{b} \mid ^2 & = & (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2 \\ & = & x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 + y_1^2-2y_1y_2 + y_2^2 + z_1^2 -2z_1z_2+z_2^2 \\ & = & x_1^2+y_1^2+z_1^2 +x_2^2+y_2^2+z_2^2 -2x_1x_2 -2y_1y_2-2z_1z_2 \\ & = & \mid \overline{a} \mid ^2 + \mid \overline{b} \mid ^2 -2(x_1x_2 + y_1y_2+z_1z_2).\\ \end{array}\)

När vi jämför hur vi uttryckte cosinussasten med sidorna i vår triangel och hur vi kan uttrycka \(\mid\overline{a}-\overline{b}\mid^2\) så märker vi att vi har nästan samma termer. Det som skiljer är \(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\) och \(\mid\overline{a}\mid\mid\overline{b}\mid\cos\alpha\). För att vi skall ha identitet så får vi att

\(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=\overline{a}\cdot \overline{b}=\mid\overline{a}\mid\mid\overline{b}\mid\cos\alpha.\)

Det vi får är skalära produkten för två vektorer.

Skalära produkten mellan \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) får vi som \(\overline{a}\cdot\overline{b} = \mid\overline{a}\mid\mid\overline{b}\mid \cos(\overline{a},\overline{b})\).

Skalära produkten är en operation mellan två vektorer som ger ett värde. Med hjälp av skalära produkten kan vi säga om hur två vektorer förhåller sig till varandra.

Vinkeln mellan två vektorer bestämmer vi som \(\cos(\overline{a}, \overline{b}) = \dfrac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\mid\overline{a}\mid\mid\overline{b}\mid}\).

Vinkeln mellan vektorerna \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) kan vi uppskatta genom att bilda \(\overline{a}\cdot\overline{b}\). Är

  • \(\overline{a}\cdot\overline{b}<0\) är vinkeln trubbig
  • \(\overline{a}\cdot\overline{b}=0\) är vinkeln rät
  • \(\overline{a}\cdot\overline{b}>0\) är vinkeln spetsig.

Exempel 1 Bestäm vinkeln mellan vektorerna \(\overline{a}=\overline{i}-2\overline{j}+\overline{k}\) och \(\overline{b}=2\overline{i}+\overline{j}-2\overline{k}\).

Uppgifter

  1. Bestäm typ av vinkel som följande vektorer bildar. Du behöver inte veta storleken, utan bestäm värdet av den skalära produkten och svara utgående från det.

    PåståendeSpetsigRätTrubbig
    \(3\overline{i}-2\overline{j}\) och \(3\overline{i}+\overline{j}\)
    \(4\overline{i}-2\overline{j}\) och \(\overline{i}+2\overline{j}\)
    \(\overline{i}-\overline{j}\) och \(\overline{j}\)
    \(3\overline{i}-\overline{j}\) och \(\overline{i}+2\overline{j}\)
    \(\overline{i}+2\overline{j}\) och \(3\overline{i}+\overline{j}\)
    \(-\overline{i}+2\overline{j}\) och \(5\overline{i}+\overline{j}\)

    PåståendeSpetsigRätTrubbig
    \(3\overline{i}-2\overline{j}\) och \(3\overline{i}+\overline{j}\)
    \(4\overline{i}-2\overline{j}\) och \(\overline{i}+2\overline{j}\)
    \(\overline{i}-\overline{j}\) och \(\overline{j}\)
    \(3\overline{i}-\overline{j}\) och \(\overline{i}+2\overline{j}\)
    \(\overline{i}+2\overline{j}\) och \(3\overline{i}+\overline{j}\)
    \(-\overline{i}+2\overline{j}\) och \(5\overline{i}+\overline{j}\)

  2. Bestäm vinkeln mellan följande vektorer med en tiondels grad noggrannhet.
    1. \(\overline{i}+2\overline{j}\) och \(3\overline{i}+2\overline{j}\).

      29,7\(^{\circ}\)

    2. \(\overline{i}+\overline{j}\) och \(3\overline{i}-\overline{j}\).

      63,4\(^{\circ}\)

    3. \(-\overline{i}+2\overline{j}\) och \(2\overline{i}-\overline{j}\).

      \(143,1^{\circ}\)

  3. För vilket värde på \(k\) är vinkeln mellan \(\overline{a}=2\overline{i}-2\overline{j}\) och \(\overline{b}=k\overline{i}-2\overline{j}\) \(45^{\circ}\)?

    Då \( k= 0 \).

  4. För parallellogrammen ABCD gäller att diagonalvektorerna \(\overrightarrow{AC}=6\overline{i}+2\overline{j}\) och \(\overrightarrow{DB}=2\overline{i}-2\overline{j}\). Bestäm storleken av vinklarna i parallellogrammen med noggrannheten en tiondels grad.

    Storleken av den mindre vinkeln är \( 45^{\circ} \) och den större är \( 135^{\circ} \).

  5. För vilka värden på \(k\) är triangeln som bestäms av punkterna \((0,3)\), \((3,4)\) och \((1,k)\) spetsig i vinkeln som bildas i \((1,k)\)?

    Vilka värden har skalära produkten av en spetsig vinkel? Bilda modigt en olikhet.

    Då \( 2 < k < 5 \).

  6. Ett flygplan startar från punkten \((2,4,0)\) och lyfter i riktningen \(2\overline{i}+3\overline{j}+\overline{k}\). Hur stor vinkel bildar flygplanets rutt mot marken? Svara med noggrannheten 0,1 grader.

    Rita bild och fundera. Hur kan du uttrycka den vektor som går längs med marken och beskriver planets rutt?

    Vinkeln är \( 15,5^{\circ}\).