MaA 4 Vektorer

13. Avstånd mellan en punkt och en linje i rymden

Som det sista i kursen tar vi och ser på avstånd mellan punkter och linjer och punkter och plan. Här är egentligen ingenting nytt utan vi tillämpar det som vi lärt oss från förut.

Exempel 1 En linje bestäms av punkten \(A =(2,1,3)\) och vektorn \(3\overline{i}-\overline{j}+\overline{k}\). Vilken punkt på linjen är närmast punkten \(P=(8,1,7)\)? Vilket är det kortaste avståndet mellan \(P\) och linjen?

Lösning

Närmast punkten \(P\) på linjen är den punkt därifrån vi kan rita en normal från linjen som går genom \(P\). Vi kallar denna punkt \(X\).

Vi uttrycker att \(\overrightarrow{PX} = \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{PA} + t\overline{v}\).

Eftersom \(\overrightarrow{PX}\) och \(\overline{v}\) skall var vinkelräta mot varandra skall skalära produkten av dessa ha värdet noll.

Vi tar och bildar de nödvändiga vektorerna.

\(\begin{array}{rl} \overrightarrow{PA}= & (2-8)\overline{i}+(1-1)\overline{j}+(3-7)\overline{k} \\ = & -6\overline{i}-4\overline{k}\\ \end{array}\)

och

\(\begin{array}{rl} \overrightarrow{PX}= & \overrightarrow{PA}+t\overline{v} \\ = & -6\overline{i}-4\overline{k} + t(3\overline{i}-\overline{j}+\overline{k}) \\ = & (-6+3t)\overline{i}-t\overline{j}+(-4+t)\overline{k}\\ \end{array}\)

Sedan bestämmer vi \(\overrightarrow{PX}\cdot \overline{v}=0\):

\(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{PX}\cdot \overline{v} & = & 0 \\ ((-6+3t)\overline{i}-t\overline{j}+(-4+t)\overline{k}) \cdot (3\overline{i}-\overline{j}+\overline{k}) & = & 0 \\ (-6+3t)\cdot 3 -t(-1) + (-4+t)\cdot 1 & = & 0 \\ -18 +9t +t+-4+t & = & 0 \\ 11t & = & 22 \\ t & = & \dfrac{22}{11}=2 \end{array}\)

Vi har alltså att \(\overrightarrow{AX} = 2\overline{v}\).

Då kan vi bestämma koordinaterna för \(X\).

\(\begin{array}{rl} \overrightarrow{OX}= & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX} \\ = & \overrightarrow{OA} + 2 \overline{v} \\ = & 2 \overline{i}+\overline{j}+3\overline{k} + 2(3 \overline{i}-\overline{j}+\overline{k} \\ = & 8 \overline{i}-\overline{j}+5\overline{k}\\ \end{array}\)

\(X\) har koordinaten \((8,-1,5)\).

Avståndet mellan P och linjen är det kortaste, alltså avståndet mellan P och X. Avståndet \(\mid PX\mid = \sqrt{(8-8)^2+(1-(-1))^2+(7-5)^2}=\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Exempel 2 Ett plan spänns upp av punkten \(A = (1,3,0)\) och basvektorerna \(\overline{u}=\overline{i}+\overline{k}\) och \(\overline{v}=\overline{i}-\overline{j}+\overline{k}\). Vilken punkt i planet är närmast punkten \(P=(-2,-4,1)\). Bestäm avståndet mellan planet och punkten P.

Lösning

Vi börjar med att rita en bild.

Det som vi vill ha är \(\mid \overrightarrow{PX} \mid\).

\(\overrightarrow{PX}\) kan vi uttrycka som \(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AX}\). Eftersom \(\overrightarrow{AX}\) är i planet som spänns upp av \(\overline{u}\) och \(\overline{v}\) så kan vi uttrycka \(\overrightarrow{AX} = r\overline{u} + s\overline{v}\).

Vi får att \(\overrightarrow{PX}=\overline{PA}+ r\overline{u} + s\overline{v}\).

Vidare gäller det att \(\overrightarrow{PX}\) är vinkelrät mot bägge basvektorerna, \(\overline{u}\) och \(\overline{v}\).

\(\overrightarrow{PA}=(1-(-2))\overline{i}+(3-(-4))\overline{j}+(0-1)\overline{k} = 3\overline{i} +7\overline{j}-\overline{k}\).

Då är vi färdiga att börja räkna.

\(\begin{array}{rl} \overrightarrow{PX}= & \overline{PA}+ r\overline{u} + s\overline{v} \\ = & 3\overline{i} +7\overline{j}-\overline{k} + r(\overline{i}+\overline{k})+s(\overline{i}-\overline{j}+\overline{k}) \\ = & (3+r+s)\overline{i}+(7-s)\overline{j}+(-1+r+s)\overline{k} \\ \end{array}\)

Att \(\overrightarrow{PX}\) är vinkelrät mot \(\overline{u}\) betyder att \(\overrightarrow{PX}\cdot \overline{u}=0\) och att \(\overrightarrow{PX}\) är vinkelrät mot \(\overline{v}\) betyder att \(\overrightarrow{PX}\cdot \overline{v}=0\).

Vi bildar dessa uttryck.

\(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{PX} \cdot \overline{u} & = & 0 \\ (3+r+s)\cdot 1 +(7-s)\cdot 0 + (-1+r+s)\cdot 1 & = & 0 \\ 3 +r+s-1+r+s & = & 0 \\ 2r+2s & = & -2 \\ \end{array}\)

och

\(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{PX} \cdot \overline{v} & = & 0 \\ (3+r+s)\cdot 1 +(7-s)(-1) + (-1+r+s)\cdot 1 & = & 0 \\ 3 +r+s-7+s-1+r+s & = & 0 \\ 2r+3s & = & 5 \\ \end{array}\)

Vi får ett ekvationssystem

\(\left\{ \begin{array}{rcl} 2r + 2s & = & -2 \\ 2r+3s & = & 5 \\ \end{array} \right.\)

Ekvationssystemet har lösningarna \(s=7\) och \(r=-8\).

Vi får \(\overrightarrow{PX}\) som \((3-8+7)\overline{i}+(7-7)\overline{j}+(-1-8+7)\overline{k}=2\overline{i}-2\overline{k}\).

Längden är \(\mid \overrightarrow{PX} \mid = \sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

Uppgifter

  1. Bestäm avståndet för punkten \(P = (3,1,4)\) från

    1. \(x\)-axeln.

      \(\sqrt{17} \approx 4,1\)

    2. \(y\)-axeln

      5 l.e.
    3. \(xy\)-planet

      4 l.e.
    4. \(xz\)-planet.

      1 l.e.
  2. En linje går genom punkten \((4,1,-1)\) och \((3,-1,0)\).
    1. Vilken punkt på linjen är närmast punkten \(P = (1,-2,0)\)?

      \((\dfrac{8}{3},\dfrac{4}{3},-\dfrac{5}{3})\)

    2. Bestäm avståndet mellan P och linjen.

      3,9 l.e.
  3. Bestäm avståndet, med hjälp av vektorer, från punkten \(P (-1,4)\) till linjen som går genom punkterna \((-1,-2)\) och \((3,4)\).

    \(\dfrac{10}{3}\)

  4. Bestäm avståndet från punkten \(P=(10,1,-2)\) till linjen som går genom punkterna \((3,2,1)\) och \((2,2,2)\).

    Närmaste punkt är \((8,2,-4)\).

    Avståndet är 3 l.e.

  5. Bestäm avståndet mellan punkten \((10,1,-2)\) och planet som spänns upp av punkterna \((1,1,2)\), \((3,0,3)\) och \((2,2,5)\).

    Punkten närmast är \((6,-3,2)\).

    \((\sqrt{50}=) 5\sqrt{2}\approx,7,1\)

  6. Ett flygplan startar från \((1,5,0)\) och flyger i riktningen \(2\overline{i}-\overline{j}+2\overline{k}\). Ekvationen \(x-2y-4=0\) beskriver en strandlinje. Hur högt ovanför strandlinjen kommer flygplanet att flyga då en ruta motsvarar 100 m?

    650 m