MaA 4 Vektorer

1. Vektorer

En vektor är en matematisk storhet som har både storlek och riktning. Vektorer utnyttjas främst inom fysiken för att beskriva tex kraft, hastighet, acceleration och elektriska- och magnetfält.

Vektorer introduceras för att det gör den matematiska behandlingen lättare av händelser inom fysiken.

Vektorer kan betecknas på flera olika sätt. Vi har

fet stila
pilnotation\( \overrightarrow{AB} \)
linjenotation\( \overline{a} \).

Det är en liten skillnad på dessa tre och för att inte ha problem i fortsättningen är det bra att genast lära sig skillnaden mellan dessa.

Fet stil används främst inom fysiken och i den angloamerikanska värden.

Pilnotation används för att berätta om en vektor som är mellan två punkter. Vektorn mellan A och B betecknas \( \overrightarrow{AB} \).

Representerar \( \overrightarrow{BA} \) samma som \( \overrightarrow{AB} \)?

Lösning

Nej, eftersom en vektor har storlek och riktning. \( \overrightarrow{AB} \) och \( \overrightarrow{BA} \) har samma storlek, längd, men inte samma riktning. Vi talar om att \( \overrightarrow{AB} \) och \( \overrightarrow{BA} \) är varandras motsatta vektorer. Tänk dessa som motsatta tal. Om vektorn \( \overrightarrow{AB} \) representeras av vektorn \( \overline{a} \), representeras \( \overrightarrow{BA} \) av \( -\overline{a} \).

Mera om dessa kommer i Ett reellt tal gånger en vektor.

Dessa vektorer är olika riktade och det betecknas \( \overrightarrow{AB} \uparrow \downarrow \overrightarrow{CD} \). Du märker att de har samma "lutning".

Vektorerna \( \overrightarrow{AB} \) och \( \overrightarrow{EF} \) är olika långa men de har samma riktning. Vi talar om att de är lika riktade och vi betecknar det som \( \overrightarrow{AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow{EF} \).

För att två vektorer skall vara identiska skall de ha samma längd och riktning. Vektorerna \( \overrightarrow{EF} \) och \( \overrightarrow{GH} \) har samma längd och riktning.

När två vektorer kan representeras av en vektor brukar vi beteckna det med en linjenotation. Vi kan alltså skriva \( \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DH}=\overline{a} \) (eller någon annan lämplig bokstav).

En vektor som saknar längd kallar vi för en nollvektor. En nollvektor betecknas \( \overline{0} \). En nollvektor kan vi även skriva som \( \overrightarrow{AA} \), som betyder att den representerar en punkt.

Längden av en vektor betecknas \( \mid \overline{a} \mid \). För nollvektorn betyder det att \( \mid \overline{0} \mid =0 \).

Uppgifter

  1. Kombinera rätt sätt att skriva vektorn med rätt bild.

    Välj bland följande beteckningar: \( \overline{b} \), \( \overrightarrow{AA} \), \( \overrightarrow{DB} \), \( \overline{a} \), \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{BA} \), \( \overrightarrow{CD} \) och \( \overrightarrow{AB} \).

    \( \overrightarrow{AB} \)
    \( \overrightarrow{BA} \)
    \( \overline{a} \)
    \( \overrightarrow{CD} \)

    \( \overrightarrow{DB} \)

    \( \overline{b} \)

    \( \overrightarrow{AA} \)

    \( \overrightarrow{BC} \)
  2. Fyll i de ord som saknas.

    En vektor har både längd och [första ordet].

    En vektor som saknar längd kallas för [andra ordet].

    [Tredje ordet] av vektorn \( \overline{a} \) beteckans \( \mid \overline{a} \mid \) .

    Två vektorer som är lika [fjärde ordet] och samma riktade är identiska.

    En vektor har både längd och [riktning].

    En vektor som saknar längd kallas för [nollvektor eller punkt].

    [Längden] av vektorn \( \overline{a} \) betecknas \( \mid \overline{a} \mid \) .

    Två vektorer som är lika [långa] och samma riktade är identiska.

  3. Rita av vektorn \( \overline{a} \) på rutpapper.

    1. Rita vektorn \( \overline{b} \) så att \( \overline{a}=\overline{b} \) .
    2. Rita vektorn \( -\overline{a} \) .
    3. Rita vektorn \( \overline{c} \) så att \( \mid \overline{c} \mid = 2\mid \overline{a} \mid \) .
    4. Rita vektorn \( \overline{d} \) så att \( \overline{a} \uparrow \downarrow \overline{d} \) och \( \mid \overline{a} \mid = 3\mid \overline{d} \mid \) .
    5. Något i stil med

  4. Låt \( A =(-2,1) \) , \( B=(1,3) \) och \( C=(2,-2) \) . Bestäm \( D \) :s koordinater
    1. \( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \)

      \( D = (5,0) \)
    2. \( \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} \)

      \( D = (-1,-4) \)
    3. \( \overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AC} \)

      \( D = (-3,6) \)
    4. \( \overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{AC} \)

      \( D = (5,0) \)
  5. Längden för vektorn \( \overline{a} \) är 6 l.e. Rita

    1. vektorn \( \overline{b} \) som är olika riktad \( \overline{a} \) och \( \mid\overline{b}\mid=4 \) .
    2. alla lika riktade vektorer till \( \overline{a} \) vars längd är 1.
    3. alla vekorer som är vinkelräta mot \( \overline{a} \) och vars längd är 3.

    Om vi låter \( \overline{a} \) vara vinkelrät så får vi något i stil med

  6. Om vektorerna \( \overline{a} \) , \( \overline{b} \) och \( \overline{c} \) vet vi att \( \overline{a}=-\overline{b} \) och att \( \mid\overline{a}\mid=2\mid \overline{c} \mid \) . På bilden finns vektorn \( \overline{a} \) . Rita vektorerna \( \overline{b} \) och \( \overline{c} \) .

    Något i stil med

  7. Betsäm slutkoordinaten då vi startar från punkten \( (2,3) \) och förflyttar oss

    1. längs med \( \overline{a} \) . Slutpunkten är...

      Slutpunkten är \( (4,2) \)
    2. först längs med \( \overline{a} \) och sedan längs med \( \overline{b} \) .

      Vi kommer till \( (7,3) \).
    3. först längs med \( \overline{b} \) och sedan längs med \( \overline{a} \) .

      Slutpunkten är \( (7,3) \).
    4. längs vektorn - \( \overline{b} \) .

      Slutpunkten är \( (-1,2) \).
    5. först längs med \( -\overline{a} \) och sedan längs med \( -\overline{b} \)

      Slutpunkten är\( (-3,3) \).