MaA 4 Vektorer

5. Vektorns komponenter

Hur många vektorer av \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) behövs för att vi kan flytta oss från \(A\) till \(B\)?

Exempel 1 Uttryck vektorn \(\overline{v}\) med hjälp av vektorerna \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\).

En vektor \(\overline{a}\) kan uttryckas som komponenter av andra vektorer. Vi tar \(\overline{u}\not=\overline{0}\) och \(\overline{v}\not=\overline{0}\) som är olika riktade. Vektorn \(\overline{a}\) kan vi uttrycka som \(\overline{a} = r\overline{u} + s\overline{v}\), där \(r\) och \(s\) är reella tal.

Vi talar om att vektorn \(\overline{a}\) består av \(s\) st komponenter av \(\overline{u}\) och \(r\) st komponenter av \(\overline{v}\).

Har vi tre dimensioner behöver vi tre stycken vektorer som vi delar in \(\overline{a}\) i. Då får vi \(\overline{a} = r\overline{u} + s\overline{v} + t\overline{w}\), där \(\overline{u}\not=\overline{0}\), \(\overline{v}\not=\overline{0}\), \(\overline{w}\not=\overline{0}\) och olika riktade och \(r\), \(s\) och \(t\) är reella tal.

Exempel 2 För \(xy\)-planet har notationen med vektorerna \(\overline{i}\) och \(\overline{j}\) blivit standard. Uttryck vektorerna \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) med \(\overline{i}\) och \(\overline{j}\) som komponenter.

Då vi delar upp vektorer i komponenter utnyttjar vi entydigheten. Det betyder att en ekvation endast har en lösning.

Låt \(\overline{u}\not=\overline{0}\) och \(\overline{v}\not=\overline{0}\) vara olika riktade. Om \(r\overline{u}+s\overline{v}=p\overline{u}+q\overline{v}\), så är \(r=p\) och \(s=q\).

Exempel 3 Dela upp vektorn \(3\overline{i} -\overline{j}\) i komponenter beståendes av \(\overline{i}+\overline{j}\) och \(\overline{i}-\overline{j}\).

Lösning

Vi söker de reella värden \(r\) och \(s\), så att vi kan skriva:

\(\begin{array}{rcl} 3\overline{i} -\overline{j} & = & r(\overline{i}+\overline{j})+s(\overline{i}-\overline{j}) \\ 3\overline{i} -\overline{j} & = & r\overline{i}+r\overline{j}+s\overline{i}-s\overline{j} \\ 3\overline{i} -\overline{j} & = & r\overline{i}+s\overline{i} +r\overline{j}-s\overline{j} \\ 3\overline{i} -\overline{j} & = & (r+s)\overline{i} +(r-s)\overline{j} \\ \end{array}\)

Eftersom \(\overline{i}\) och \(\overline{j}\) är basen är uppdelningen entydig. Vi får

\(\left\{ \begin{array}{rclcl} 3 &=& r+s &\Leftrightarrow &r=3-s\\ -1 &=& r-s &\Leftrightarrow &r=-1+s\\ \end{array} \right.\)

Alltså \(3-s=-1+s\) som ger att \(2s=4\) och \(s=2\). \(r\) har då värdet \(3-s=3-2=1\).

Vi kan uttrycka \(3\overline{i} -\overline{j}\) som \((\overline{i}+\overline{j}) +2(\overline{i}-\overline{j})\).

Exempel 4 Vektorerna \(\overline{i}\) och \(\overline{j}\) är olika riktade \((\overline{i}\not=\overline{0}\), \(\overline{j}\not=\overline{0}\) ). Undersök om \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) är lika riktade då

  1. \(\overline{a}=2\overline{i}-3\overline{j}\) och \(\overline{b}=\overline{i}-\dfrac{3}{2}\overline{j}\).
  2. \(\overline{a}=-3\overline{i}+3\overline{j}\) och \(\overline{b}=3\overline{i}-\overline{j}\).

Lösning

  1. För att \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) skall vara lika riktade så skall vi kunna skriva \(\overline{a}=r\overline{b}\) där \(r \in \mathbb{R_+}\). Betyder att vi får

    \(\begin{array}{rcl} \overline{a}&=&r\overline{b} \\ 2\overline{i}-3\overline{j} & = & r (\overline{i}-\dfrac{3}{2}\overline{j}) \\ 2\overline{i}-3\overline{j} & = & r \overline{i}-\dfrac{3}{2}r\overline{j} \\ \end{array}\)

    Eftersom \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) har samma bas är uppdelningen entydig. Vi får

    \(\left\{ \begin{array}{rclcl} 2 &=&r &\Leftrightarrow &r=2\\ -3 & = & -\frac{3}{2} &\Leftrightarrow &r=2\\ \end{array} \right.\)

    Eftersom vi i bägge fallen får \(r=2\) så är \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) lika riktade.

    Vi kan även i lösa uppgiften som \(\overline{a}=2\overline{i}-3\overline{j} = 2(\overline{i}-\dfrac{3}{2}\overline{j}) = 2\overline{b}\).

  2. För att \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) skall vara lika riktade så skall vi kunna skriva \(\overline{a}=r\overline{b}\) där \(r \in \mathbb{R}\). Betyder att vi får

    \(\begin{array}{rcl} \overline{a}&=&r\overline{b} \\ -3\overline{i}+3\overline{j}&=&r(3\overline{i}-\overline{j}) \\ -3\overline{i}+3\overline{j}&=&3r\overline{i}-r\overline{j} \\ \end{array}\)

    Eftersom \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) har samma bas är uppdelningen entydig. Vi får

    \(\left\{ \begin{array}{rclcl} -3 & = 3r &\Leftrightarrow &r=-1 \\ 3 & = -r &\Leftrightarrow &r=-3\\ \end{array} \right.\)

    Eftersom vi får två olika värden på \(r\) så är är de varken lika eller olika riktade.

Exempel 5 För vilket värde på \(k\) är vektorerna \(\overline{a} = k\overline{i}+2\overline{j}\) och \(\overline{b} =-6\overline{i}+4\overline{j}\) olika riktade?

Lösning

För att \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) skall vara olika riktade så skall vi kunna skriva \(\overline{a}=r\overline{b}\) där \(r \in \mathbb{R_-}\). Det betyder att vi får

\(\begin{array}{rcl} \overline{a}&=&r\overline{b} \\ k\overline{i}+2\overline{j} & = &r(-6\overline{i}+4\overline{j}) \\ k\overline{i}+2\overline{j} & = &-6r\overline{i}+4r\overline{j}) \\ \end{array}\)

Eftersom \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) har samma bas är uppdelningen entydig. Vi får

\(\left\{ \begin{array}{rclcl} k &=&-6r \\ 2 & = & 4r &\Leftrightarrow &r=\frac{1}{2}\\ \end{array} \right.\)

Eftersom \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) skall vara olika riktade bör vi få samma värde på \(r\). Det utnyttjar vi genom att lägga in \(r=\frac{1}{2}\) i \(k=-6r = -6\cdot \dfrac{1}{2} = -3\).

Alltså då \(k=-3\) är \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) olika riktade.

Uppgifter

  1. Uttryck vektorerna \(\overline{a}\), \(\overline{b}\) och \(\overline{c}\) som komponenter av \(\overline{i}\) och \(\overline{j}\).

    1. \(\overline{a}=\)

      Vi flyttar oss 3 steg åt höger och 1 steg uppåt, alltså \(\overline{a}= 3\overline{i}+\overline{j}\) .
    2. \(\overline{b}=\)

      Vi flyttar oss 1 steg åt vänster och 2 steg neråt, alltså \(\overline{b}= -\overline{i}-2\overline{j}\).
    3. \(\overline{c}=\)

      Vi flyttar oss 2 steg rakt neråt, alltså \(\overline{c}= -2\overline{j}\)
  2. Dela upp vektorn \(2\overline{i} +\overline{j}\) som komponenter av \(\overline{i}+\overline{j}\) och \(\overline{i}-\overline{j}\).

    Vi får att

    \(\begin{array}{rcl} 2\overline{j} +\overline{j} &=& r(\overline{i}+\overline{j}) + s(\overline{i}-\overline{j}) \\ 2\overline{j} +\overline{j} &=& r\overline{i}+r\overline{j} + s\overline{i}-s\overline{j} \\ 2\overline{j} +\overline{j} &=& (r+s)\overline{i}+(r-s)\overline{j}\\ \end{array}\)

    Uppdelningen i bas är entydig. Vi får

    \(\left\{ \begin{array}{rcl} 2 &=& r+s \\ 1 &=& r-s \\ \end{array} \right.\)

    som har lösningarna \(r=\dfrac{3}{2}\) och \(s=\dfrac{1}{2}\).

    Alltså \(2\overline{j} +\overline{j} = \dfrac{3}{2}(\overline{i}+\overline{j}) + \dfrac{1}{2}(\overline{i}-\overline{j})\).

  3. Dela upp vektorn \(\overline{c}=-4\overline{i}-3\overline{j}\) i komponenter beståendes av \(\overline{i}\) och \(\overline{i}+\overline{j}\).

    Vi får att

    \(\begin{array}{rcl} -4\overline{i}-3\overline{j} &=& r\overline{i} +s(\overline{i}+\overline{j}) \\ -4\overline{i}-3\overline{j} &=& r\overline{i} +s\overline{i}+s\overline{j} \\ -4\overline{i}-3\overline{j} &=& (r+s)\overline{i} +s\overline{j} \\ \end{array}\)

    Uppdelning i basen är entydig. Vi får att

    \(\left\{ \begin{array}{rcl} -4 &=& r+s \\ -3 &=& s \\ \end{array} \right.\)

    som har lösningarna \(r=-1\) och \(s=-3\).

    Alltså \(\overline{c}=-4\overline{i}-3\overline{j} = -\overline{i} -3(\overline{i}+\overline{j})\).

  4. Undersök om vektorerna \(\overline{a}=-2\overline{i}+3\overline{j}\) och \(\overline{b}=2\overline{i}-3\overline{j}\) är lika riktade.

    För att \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) är lika riktade så gäller att \(\overline{a} = r\cdot \overline{b}\), \(r\in \mathbf{R}\).

    Alltså

    \(\begin{array}{rcl} \overline{a} &=& r\overline{b} \\ -2\overline{i} +3\overline{j} &=& r(2\overline{i} -3\overline{j})\\ -2\overline{i} +3\overline{j} &=& 2r\overline{i} -3r\overline{j}\\ \end{array}\)

    Uppdelning i bas är entydig. Vi får

    \(\left\{ \begin{array}{rcl} -2 &=& 2r\\ 3 &=&-3r \end{array} \right.\)

    som har lösningen \(r=-1\).

    Eftersom \(r\) är negativt är vektorerna olika riktade.

  5. För vilket värde på \(k\) är vektorerna \(\overline{a}=-2\overline{i}-\overline{j}\) och \(\overline{b}=k\overline{i}-2\overline{j}\) olika riktade?

    För att \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) är olika riktade gäller att \(\overline{a}=r\cdot \overline{b}\) där \(r<0\).

    Vi får att

    \(\begin{array}{rcl} \overline{a} &=& r\cdot \overline{b} \\ -2\overline{i}-\overline{j} &=& r(k\overline{i}-2\overline{j}) \\ -2\overline{i}-\overline{j} &=& kr\overline{i}-2r\overline{j}\\ \end{array}\)

    Uppdelning i basen är entydig. Vi får

    \(\left\{ \begin{array}{rcll} -2 &=& kr \\ -1 &=& 2r &\Leftrightarrow r=-\frac{1}{2}\\ \end{array} \right.\)

    Alltså då \(k=\dfrac{-2}{r} = \dfrac{-2}{-\frac{1}{2}}=4\).

  6. För vilket värde på \(k\) är vektorerna \(\overline{a}=3\overline{i}+k\overline{j}\) och \(\overline{b}=-6\overline{i}+4\overline{j}\) olika riktade?

    För att \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) är olika riktade gäller att \(\overline{a} = r\cdot \overline{b}\) där \(r<0\).

    Vi får att

    \(\begin{array}{rcl} \overline{a} &=& r\cdot\overline{b} \\ 3\overline{i} +k\overline{j} &=& r(-6\overline{i}+4\overline{j}) \\ 3\overline{i} +k\overline{j} &=& -6r\overline{i}+4r\overline{j} \\ \end{array}\)

    Uppdelning i basen är entydig. Vi får att

    \(\left\{ \begin{array}{rcll} 3 &=& -6r &\Leftrightarrow r=-\frac{1}{2} \\ k &=& 4r \\ \end{array} \right.\)

    Alltså är \(k=4\cdot -\dfrac{1}{2} =-2\).

  7. Dela upp vektorn \(\overline{a}=-2\overline{i}+\overline{j}\) i komponenter beståendes av \(\overline{u}=\overline{i}+\overline{j}\) och \(\overline{v}=-\overline{i}+\overline{j}\) .

    Vi får att

    \(\begin{array}{rcl} \overline{a} &=& r\overline{u} + s\overline{v} \\ -2\overline{i}-\overline{j} &=& r(\overline{i}+\overline{j}) +s(-\overline{i}+\overline{j})\\ -2\overline{i}-\overline{j} &=& r\overline{i}+r\overline{j} -s\overline{i}+s\overline{j}\\ -2\overline{i}-\overline{j} &=& (r-s)\overline{i}+(r+s)\overline{j}\\ \end{array}\)

    Uppdelningen är entydig. Vi får att

    \(\left\{ \begin{array}{rcl} -2 &=& r-s \\ 1 &=&r+s \\ \end{array}\right.\)

    som har lösningarna \(r=-\dfrac{1}{2}\) och \(s=\dfrac{3}{2}\).

    Alltså \(\overline{a}= \dfrac{3}{2}\overline{u} - \dfrac{1}{2}\overline{v}\).