MaA 4 Vektorer

7. Vektorer i xy-planet

Uttryck \(\overline{a}\), \(\overline{b}\) och \(\overline{c}\) med hjälp av vektorerna \(\overline{i}\) och \(\overline{j}\). Hur långa är \(\overline{a}\), \(\overline{b}\) och \(\overline{c}\)?

I ett karteiskt koordinatsystem använder vi oss av \(\overline{i}\) och \(\overline{j}\) som basvektorer. \(\overline{i}\) är parallell med \(x\)-axeln och \(\overline{j}\) är parallell med \(y\)-axeln.

Längden av en vektor i \(xy\)-planet får vi med hjälp av Pythagoras sats.

Längden av vektorn \(\overline{a}=x\overline{i} + y \overline{j}\) är \(\mid \overline{a} \mid =\sqrt{x^2+y^2}\).

Exempel 1 Uttryck vektorn \(2\overline{a} -3\overline{b}\) med hjälp av \(\overline{i}\) och \(\overline{j}\). Bestäm längden av \(2\overline{a} -3\overline{b}\).

VIDEO?

Då vi låter vektorn \(\overline{a}=x\overline{i} + y \overline{j}\), vars komponenter består av \(\overline{i}\) och \(\overline{j}\), börja i origo så slutar vektorn i punkten \((x,y)\). Dessa vektorer kallar vi för ortsvektorer.

Exempel 2

  1. På vilken punkt pekar \(\overline{a}=3\overline{i} -2 \overline{j}\)?
  2. Bestäm vektorn mellan origo och \((-2,-5)\).

Vektorn mellan punkterna \(A= (x_1,y_1)\) och \(B=(x_2,y_2)\) kan vi bestämma som så att vi först rör oss via \(\overrightarrow{OA}\) och \(\overrightarrow{OB}\). Vi får då \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).

Vi kan även direkt utnyttja punkterna \(A= (x_1,y_1)\) och \(B=(x_2,y_2)\). Då får vi att \(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1)\overline{i}+(y_2-y_1)\overline{j}\).

Exempel 3 Bestäm vektorn mellan punkterna \((-1,-3)\) och \((2,5)\).

Lösning

Punkterna är \((-1,-3)\) och \((2,5)\). Dessa sätter vi in i \( (x_2-x_1)\overline{i}+(y_2-y_1)\overline{j}=(2-(-1))\overline{i}+(5-(-3))\overline{j}=3\overline{i}+8\overline{j}.\)

Vektorn är \(3\overline{i}+8\overline{j}\).

För att få längden av en vektor bestämmer vi avståndet mellan två punkter, \(A= (x_1,y_1)\) och \(B=(x_2,y_2)\), och utnyttjar vi Pythagoras sats.

\(\mid \overrightarrow{AB} \mid = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

Exempel 4 Vektorn \(\overline{a}=3\overline{i}+\overline{j}\) börjar i \((-2,-1)\). Bestäm ändpunkten \(B\). Hur lång är \(\overrightarrow{OB}\)?

Lösning

Vi bildar \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+\overline{a}\).

Vi får att \(\overrightarrow{OA}=-2\overline{i}-\overline{j}\) och \(\overline{a}=3\overline{i}+\overline{j}\).

\(\overrightarrow{OB}=-2\overline{i}-\overline{j}+3\overline{i}+\overline{j}=\overline{i}\).

B:s koordinat är \((1,0)\), längden \(\mid \overrightarrow{OB}\mid =1\).

Uppgifter

  1. Låt följande vektorer börja i origo. Kombinera rätt ändpunkt och vektor.

    Välj mellan \((-2,3)\), \((-1,-1)\), \((0,5)\) och \((3,2)\).

    \(3\overline{i}+2\overline{j}\)
    \(-2\overline{i}+3\overline{j}\)
    \(-\overline{i}-\overline{j}\)
    \(5\overline{j}\)

    \((3,2)\)\(3\overline{i}+2\overline{j}\)
    \((-2,3)\)\(-2\overline{i}+3\overline{j}\)
    \((-1,-1)\)\(-\overline{i}-\overline{j}\)
    \((0,5)\)\(5\overline{j}\)
  2. Kombinera rätt vektor med rätt start och ändpunkt.

    Välj bland följande: \(6\overline{i}+3\overline{j}\), \(4\overline{i}-\overline{j}\) och \(-3\overline{i}-\overline{j}\).

    \((-2,4)\) och \((2,3)\)
    \((-1,1)\) och \((5,4)\)
    \((1,1)\) och \((4,2)\)

    \(4\overline{i}-\overline{j}\)\((-2,4)\) och \((2,3)\)
    \(6\overline{i}+3\overline{j}\)\((-1,1)\) och \((5,4)\)
    \(-3\overline{i}-\overline{j}\)\((1,1)\) och \((4,2)\)
  3. Kombinera rätt längd med rätt vektor.

    Välj bland följande länger: \(2\sqrt{2}\) l.e., \(4\) l.e. och \(5\) l.e.

    \(4\overline{i}\)
    \(2\overline{i}+2\overline{j}\)
    \(-3\overline{i}-4\overline{j}\)

    \(4\) l.e.\(4\overline{i}\)
    \(2\sqrt{2}\) l.e.\(2\overline{i}+2\overline{j}\)
    \(5\) l.e.\(-3\overline{i}-4\overline{j}\)
  4. Bestäm slutpunkten då vektorn \(\overline{a}=-3\overline{i}+4\overline{j}\) börjar i punkten \((2,1)\).

    Vi bildar vektorn \(\overrightarrow{OP}\).

    \(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OP} & = & \overrightarrow{OA} + \overline{a} \\ & = & 2\overline{i}+\overline{j} -3\overline{i}+4\overline{j} \\ & = & -\overline{i}+5\overline{j} \\ \end{array}\)

    \(P\):s ändkoordinat är \((-1,5)\).

  5. Låt \(\overline{a}=-2\overline{i}+2\overline{j}\) och \(\overline{b}=-\overline{i}-3\overline{j}\) .
    1. Bestäm slutpunkten för \(\overline{v}=\overline{a}-2\overline{b}\) då \(\overline{v}\) börjar i origo.

      \(\begin{array}{rcl} \overline{v} & = & \overline{a}-2\overline{b} \\ & = & -2\overline{i}+2\overline{j}-2(-\overline{i}-3\overline{j})\\ & = & -2\overline{i}+2\overline{j}+2\overline{i}+6\overline{j}\\ & = & 8\overline{j}\\ \end{array}\)

      Slutpunkten är \((0,8)\).

    2. Bestäm längden av \(\overline{a}+\overline{b}\).

      \(\begin{array}{rcl} \overline{a}+\overline{b} & = & -2\overline{i}+2\overline{j}-\overline{i}-3\overline{j} \\ & = & -3\overline{i}-\overline{j}\\ \end{array}\)

      Längden är \(\mid \overline{a}+\overline{b} \mid = \sqrt{(-3)^2+(-1)^2} = \sqrt{10}\) l.e.

  6. För sträckan \(AB\) gäller att \(A=(-2,2)\) och \(B=(6,4)\). Bestäm koordinaten för punkten P då vi vet att
    1. \(P\) är mittpunkt för \(\overrightarrow{AB}\) .

      Vi har \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

      \(\overrightarrow{OA} = -2\overline{i} +2\overline{j}\)

      \(\overrightarrow{AB} = (6-(-2))\overline{i} +(4-2)\overline{j} = 8\overline{i} +2\overline{j}\).

      \(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OP} & = & -2\overline{i}+2\overline{j} +\dfrac{1}{2}(8\overline{i}+2\overline{j})\\ & = & -2\overline{i}+2\overline{j} +4\overline{i}+\overline{j})\\ & = & 2\overline{i}+3\overline{j}\\ \end{array}\)

      P:s koordinater är \((2,3)\).

    2. P delar sträckan AB i förhållandet 3:1.

      Vi har \(\overrightarrow{OA}\) och \(\overrightarrow{AB}\) är samma som i föregående moment.

      Vi får

      \(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OP} & = & \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{AP} \\ & = & \overrightarrow{OA} +\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} \\ & = & -2\overline{i}+2\overline{j} +\dfrac{3}{4}(8\overline{i}+2\overline{j})\\ & = & -2\overline{i}+2\overline{j} +6\overline{i}+\dfrac{3}{2}\overline{j}\\ & = & 4\overline{i}+3\dfrac{1}{2}\overline{j}\\ \end{array}\)

      P:s koordinater är \((4, 3\frac{1}{2})\).

  7. Från punkten \(A= (-2,-1)\) förflyttar vi oss 15 enheter i riktning av \(\overline{a} = 3\overline{i} - 4\overline{j}\). På vilken punkt landar vi?

    Vi har \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + 15\overline{a^0}\)

    \(\overrightarrow{OA} = -2\overline{i}-\overline{j}\).

    \(\mid \overline{a} \mid = \sqrt{3^2+(-4)^2} =\sqrt{25} = 5\).

    \(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OP} & = & -2\overline{i} -\overline{j} + 15\cdot \dfrac{1}{5}(3\overline{i} -4\overline{j})\\ & = & -2\overline{i} -\overline{j} + 3(3\overline{i} -4\overline{j})\\ & = & -2\overline{i} -\overline{j} + 9\overline{i} -12\overline{j}\\ & = & 7\overline{i} -13\overline{j}\\ \end{array}\)

    P:s koordinater är \((7,-13)\).

  8. Bestäm slutpunkten då vi från punkten \((3,1)\) förflyttar oss 5 enhetsvektorer i riktningen \(\overline{a}=-2\overline{i}+\overline{j}\) .

    Vi betecknar med P punkten där vi landar.

    \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + 5\overline{a^0}\).

    \(\overrightarrow{OA} = 3\overline{i} + \overline{j}\).

    \(\mid \overline{a} \mid =\sqrt{(-2)^2+1^2} = \sqrt{5}\).

    \(\overline{a}^0 = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(-2\overline{i}+j)\).

    Vi får

    \(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OP} & = & 3\overline{i}+\overline{j}+5\cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}(-2\overline{i}+\overline{j})\\ & = & 3\overline{i}+\overline{j}+\sqrt{5}(-2\overline{i}+\overline{j})\\ & = & 3\overline{i}+\overline{j}-2\sqrt{5}\overline{i}+\sqrt{5}\overline{j}\\ & = & (3-2\sqrt{5})\overline{i}+(1+\sqrt{5})\overline{j}\\ \end{array}\)

    P:s koordinater är \((3-2\sqrt{5}, 1+\sqrt{5})\).

  9. Bestäm startpunkten för vektorn \(\overline{a}=5\overline{i}+\overline{j}\) då ändpunkten \(B\) finns i första kvadranten och \(\mid\overrightarrow{OB}\mid = 5\) l.e.

    Något konstigt. Här saknas något. Kanske som en mera analyserande uppgit.

    \( (-2,3) \)
  10. Bestäm i alla ortsvektorer av formen \(x\overline{i}+y\overline{j}\) så att \(x\) och \(y\) är heltal och att \(\overline{a}\):s längd är 5 l.e. Hur många finns det?

    Utgå från att längden skall vara 5 för vektorn \(x\overline{i}+y\overline{j}\).

    Eftersom vektorerna är av formen \(x\overline{i}+y\overline{j}\) så gäller att längden av dessa skall vara 5.

    Vi får \(5=\sqrt{x^2+y^2} \Leftrightarrow 5^2 = x^2+y^2\). De talpar som löser denna ekvation är \((0,5)\), \((3,4)\), \((4,3)\) och \((5,0)\). Eftersom kvadraten på ett negativ tal blir positivt är talparen \(\pm(0,5)\), \(\pm(3,4)\), \(\pm(4,3)\) och \(\pm(5,0)\).

    Vekorerna är åtta stycken och de är: \(\pm5\overline{i}\), \(\pm5\overline{j}\), \(\pm4\overline{i}\pm3\overline{j}\).

  11. Ett plan spänns upp av tre punkter, \(A=(-1,-1)\), \(B=(1,4)\) och \(C=(3,-1)\). Bestäm punkten \(P\) så att \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overline{0}\).

    \((1, \dfrac{2}{3})\).