MaA 4 Vektorer

9. Linjen

Ett flygplan startar från punkten \(A=(2,4,0)\) och färdas varje minut enligt vektorn \(\overline{a}=\overline{i}-2\overline+3\overline{k}\). Bestäm koordinaten för flygplanet efter

  1. 1 minut
  2. 10 minuter
  3. \(t\) minuter.

För att en linje skall vara definierad behöver vi antingen två punkter eller en punkt och en vektor. Vektorn kallar vi för riktningsvektor.

Då vi arbetar med två dimensioner, vanligt koordinatsystem, så kan vi bilda ekvationer för linjer genom att utnyttja två punkter eller genom att utnyttja en punkt och en riktingskoefficient genom att tillämpa en formel. Mera om det kommer du att lära dig i följande kurs, MaA 5.

För linjer i tre dimensioner har vi inte en formel som vi kan fylla i utan vi måste arbeta fram ett uttryck.

Exempel 1 Bestäm riktningsvektorn för linjen som representeras av linjen \(y=-\dfrac{3}{2}x-1\).

Lösning

Exempel 2 En linje går genom punkterna \(A=(0,1,2)\) och \(B=(5,6,7)\). Är punkten \(C=(7,8,9)\) på linjen?

Lösning

Idén är följande:

Om A, B, och C ligger på samma linje så kan vi uttrycka \(\overrightarrow{AB}=r\overrightarrow{AC}\) där \(r \in \mathbb R\).

Vi får att

\(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} & = & r\overrightarrow{AC} \\ (5-0)\overline{i} + (6-1)\overline{j} + (7-2)\overline{k}&=&r[(7-0)\overline{i} + (8-1)\overline{j} + (9-2)\overline{k}] \\ 5\overline{i} + 5\overline{j} + 5\overline{k} &=&7r\overline{i} + 7r\overline{j} + 7r\overline{k}\\ \end{array}\)

Uppdelning i basen är entydig och vi får att

\(\begin{array}{rcl} 5=7r &\Leftrightarrow & r=\frac{5}{7} \\ \\ 5=7r &\Leftrightarrow & r=\frac{5}{7} \\ \\ 5=7r &\Leftrightarrow & r=\frac{5}{7} \\ \end{array}\)

Eftersom \(r\) får samma värde för alla komponenter så kan vi skriva \(\overrightarrow{AB}=r\overrightarrow{AC}\). Punkterna ligger på samma linje.

Vi tar en linje som definieras av en punkt A och en vektor \(\overline{v}\). En punkt \(P\) är på linjen om och endast om vekorn \(\overrightarrow{AP}\) kan skrivas som \(t\overline{v}\) där \(t\) är ett reellt tal.

Vi kallar formen \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overline{v}\) för vektorframställning.

Då vi sätter in i parameterformen för linjen en punkt A och riktningsvektorn \(\overline{v}\) så kan vi lösa ut ett ekvationssystem med tre ekvationer. Dessa kallar vi för parameterform.

Exempel 3 En linje går genom punkten \(A=(0,3,1)\) och har riktningsvektorn \(\overline{v}=\overline{i}+\overline{j}-\overline{k}\). Bestäm linjens ekvation som vektorframställning och i parameterform.

Lösning

Exempel 4 Linje \(l_1\) går genom punkterna \((3,8,-1)\) och \((5,-12,-3)\). Linjen \(l_2\) går genom punkterna \((-5,4,11)\) och \((-7,-6,15)\). Skär linjerna \(l_1\) och \(l_2\) varandra?

Lösning

Linjerna \(l_1\) och \(l_2\) skär varandra om vi hittar en gemensam punkt på linjerna. Vi kallar denna punkt för \(P\).

Om vi kan bilda \(\overrightarrow{OP}\) två olika sätt så ligger punkten \(P\) på bägge linjer och är deras skärningspunkt.

Först via linje \(l_1\), \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{AB}\).

Sedan via linje \(l_2\), \(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+s\overrightarrow{CD}\).

Linjerna skär varandra om \(\overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC}+s\overrightarrow{CD}\).

Vi bestämmer vektorerna \(\overrightarrow{AB}\) och \(\overrightarrow{CD}\).

\(\overrightarrow{AB}= (5-3)\overline{i}+(-12-(-8))\overline{j}+(-5-(-1))\overline{k} = 2\overline{i}-4\overline{j}-2\overline{k}\).

\(\overrightarrow{CD}= (-7-(-5))\overline{i}+(6-4)\overline{j}+(15-11)\overline{k} = -2\overline{i}+2\overline{j}+4\overline{k}\).

Sedan löser vi på,

\(\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{AB} &=& \overrightarrow{OC}+s\overrightarrow{CD} \\ 3\overline{i}-8\overline{j}-\overline{k} + r[2\overline{i}-4\overline{j}-2\overline{k}] &=& -5\overline{i}+4\overline{j}+11\overline{k}+s[-2\overline{i}+2\overline{j}+4\overline{k}] \\ (3+2r)\overline{i}+(-8-4r)\overline{j}+(-1-2r)\overline{k} &=& (-5-2s)\overline{i}+(4+2s)\overline{j}+(11+4s)\overline{k}\\ \end{array}\)

Uppdelning i bas är entydig och vi får:

\(\left\{ \begin{array}{rcl} 3+2r &=&-5-2s \\ -8-4r &=&4+2s \\ -1-2r &=&11+4s \\ \end{array} \right.\)

Om vi får ett \(r\) och \(s\) som satisfierar alla tre ekvationer har vi en skärningspunkt. Första och andra ekvationen ger:

\(\left\{ \begin{array}{rcl} 3+2r &=&-5-2s \\ -8-4r &=&4+2s\\ \end{array} \right.\)

att \(r=-2\) och \(s=-2\). Insättning av värdena i tredje ekvationen ger att \(-1-2(-2)=11+4(-2) \Leftrightarrow 3=3\). (Man kan även lösa direkt alla tre ekvationer på räknare och konstatera att de har en gemensam lösning.)

Det finns en gemensam punkt. Koordinaterna får vi genom att bestämma \(\overrightarrow{OP}\).

\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{AB} = 3\overline{i}-8\overline{j}-\overline{k} -2[2\overline{i}-4\overline{j}-2\overline{k}] = -\overline{i}+3\overline{k}\).

\(P\):s koordinater är \((-1,0,3)\).

Alltså skär linjerna varandra.

Uppgifter

  1. Kombinera rätt linje med rätt riktningsvektor

    Välj bland följande: \(y=-x+2\), \(x=1\), \(y=\frac{1}{2}x+1\), \(y=2\) och \(y=2x+1\).

    \(2\overline{i}+\overline{j}\)
    \(\overline{i}-\overline{j}\)
    \(\overline{i}\)
    \(\overline{j}\)
    \(\overline{i}+2\overline{j}\)

    \(y=\frac{1}{2}x+1\)\(2\overline{i}+\overline{j}\)
    \(y=-x+2\)\(\overline{i}-\overline{j}\)
    \(y=2\)\(\overline{i}\)
    \(x=1\)\(\overline{j}\)
    \(y=2x+1\)\(\overline{i}+2\overline{j}\)
  2. Är punkten \((-7,11,4)\) på linjen som går genom punkterna \((-1,-1,-2)\) och \((-4,5,1)\)?

    Ja! Se exempel 2.
  3. Är punkten \((3,4,0)\) på linjen som går genom punkterna \((1,0,3)\) och \((-2,-6,6)\)?

    Nej! Se exempel 2.
  4. Bestäm som parameterframställning ekvationen för linjen som representeras av punkten \((1,0,-1)\) och riktningsvektorn \(2\overline{i}-3\overline{j}+\overline{k}\).

    \(\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 1 + t \\ y & = & -3t \\ z & = & -1 + t \quad t \in \mathbb{R}\\ \end{array} \right.\)
  5. Bestäm som parameterframställning linjen som går genom punkterna \((-2,1,0)\) och \((7,-2,3)\).

    \(\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & -2 + 3t \\ y & = & 1-t \\ z & = & + t \quad t \in \mathbb{R} \\ \end{array} \right.\)
  6. I vilken punkt skär linjen som går genom \((3,1,-1)\) och \((0,7,5)\) \(xy\)-planet?

    Bilda en ekvation för linjen. För vilket värde på \(z\) skär linjen \(xy\)-planet?

    \((2\frac{1}{2},2,0)\).
  7. En laserstråle skjuts från punkten \((0,2,-1)\) i riktning av \(\overline{i}+3\overline{j}-\overline{k}\). En annan laserstråle skjuts från \((-1,5,0)\) i riktningen \(\overline{i}+\overline{j}-\overline{k}\). I vilken punkt träffar laserstrålarna varandra?

    Laserstrålarna träffar varandra i (2,8-3).
  8. Ett flygplan startar från \((1,3,0)\) och flyger i riktningen \(\overline{i}-2\overline{j}+\overline{k}\). Linjen \(y=2x-1\) beskriver en väg. Hur många meter ovanför vägen kommer flygplanet att flyga då en ruta motsvarar 100 m?

    50 m