MaA 5 Analytisk geometri

10. Cirkeln

Bestäm den punktmängd som är på avståndet 2 från punkten \( (1,1) \).

Lösning

Vi utnyttjar avståndet mellan två punkter, \( d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \). De punkter som vi arbetar med är \( (1,1) \) och \( (x,y) \) och avståndet mellan dessa skall vara 2.

Vi får att

\( \begin{array}{rcll} d & = & \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\ 2 & = & \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} & \mid (\quad)^2 \\ 2^2 & = & (x-1)^2 + (y-1)^2 \\ \end{array} \)

Den punktmängd som beskriver de punkter som har med avståndet 2 till (1,1) är de (x,y) som uppfyller ekvationen \( 2^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2 \).

Ritar vi det i ett koordinatsystem så har vi en cirkel.

Cirkelns ekvation lyder som \( (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r^2 \). Punkten \( (x_1, y_1) \) är cirkelns mittpunkt och \( r \) är cirkelns radie.

Exempel 1 En cirkel har mittpunkten \( (0,2) \) och radien 4.

  1. Bestäm ekvationen för cirkeln.
  2. Är punkten \( (4,3) \) på cirkeln?

Lösning

  1. Ekvationen för cirkeln får vi som:

    \( \begin{array}{rcl} (0-x)^2 + (y-2)^2 & = & 4^2 \\ x^2 + (y-2)^2 & = & 16 \\ \end{array} \)

  2. Om punkten \( (4,3) \) skall vara på cirkeln skall uttrycket vara sant, \( 4^2 + (3-2)^2 = 16+1 \not= 16 \) som det borde vara. Punkten \( (4,3) \) ligger inte på cirkeln.

Rita cirklar på GeoGebra

VIDEO

Uppgifter

  1. Bestäm mittpunkt och radie för
    1. \( (x-3)^2+(y-5)^2 = 4 \)

      Mittpunkten är \( (3,5) \) och radien är \( \sqrt{4}=2 \).

    2. \( (x+1)^2+(y-2)^2 = 1 \)

      Mittpunkten är \( (-1,2) \) och radien är \( \sqrt{1}=1 \).

    3. \( (x+3)^2+y^2 = 5 \)

      Mittpunkten är \( (-3,0) \) och radien är \( \sqrt{5} \).

  2. Ligger punkterna \( (1,-1) \), \( (-1,-2) \) och \( (3,-3) \) på cirkeln \( (x-1)^2+(y+3)^2=4 \)?

    Insättning av punkternas koordinater i ekvationen ger att \( (1,-1) \) och \( (3,-3) \) ligger på cirkeln. \( (-1,-2) \) ligger inte.

  3. Bestäm ekvationen för följande cirklar.
    1. Mittpunkt är \( (1,1) \) och radien är 3.

      \( (x-1)^2+(y-1)^2 = 9 \)

    2. Mittpunkt är \( (0,0) \) och radien är 2.

      \( x^2+y^2=4 \)

    3. Mittpunkt är \( (-1,-2) \) och radien är \( \sqrt{2} \).

      \( (x+1)^2+(y+2)^2=2 \)

  4. Rita cirklarna \( (x+2)^2+(y+1)^2=4 \) och \( (x-1)^2+(y-3)^2=1 \) och bestäm avståndet mellan dem.

    Cirklarna har mittpunkterna \( (-2,-1) \) och \( (1,3) \). Avståndet mellan mittpunkterna är \( \sqrt{(-2-1)^2+(-1-3)^2}=5 \).

    Eftersom cirklarna har radierna 2 och 1 så blir avståndet mellan cirklarna \( 5-2-1=2 \) l.e.

  5. Bestäm avståndet mellan cirklarna \( (x+2)^2+(y+2)^2=2 \) och \( (x-1)^2+(y-1)^2=2 \).

    Cirklarna har mittpunkterna \( (-2,-2) \) och \( (1,1) \). Avståndet mellan mittpunkterna är \( \sqrt{(-2-1)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2} \).

    Bägge cirklarna har radien \( \sqrt{2} \). Avståndet mellan cirklarna är \( 3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2} \).