MaA 5 Analytisk geometri

11. Cirkelns ekvation, \( x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \)

Till nästa tar vi och tittar på hur vi kan se om det är en cirkel eller inte som gömmer sig bakom en ekvation. Vi gör det genom att se på tre stycken exempel.

Exempel 1 Ekvationen \( x^2 +y^2 +2x -4y -4 =0 \) beskriver en cirkel. Bestäm mittpunkt och radie för den.

Lösning

\( \begin{array}{rcl} x^2 +y^2 +2x -4y -4 & = & 0 \\ x^2 +2x + y^2 -4y & = & 4 \\ \end{array} \)

För att kunna skriva det som två kvadrater kvadratkompeltterar vi.

\( \begin{array}{rcl} x^2+2x + 1 + y^2-4y+4 & = & 4+1+4\\ (x+1)^2 + (y-2)^2 & = & 3^2 \\ \end{array} \)

Mittpunkt är \( (-1,2) \) och radien är 3.

Exempel 2 Vad beskriver ekvationen \( x^2+y^2-2x-4y+5=0 \)?

Lösning

\( \begin{array}{rcl} x^2+y^2-2x-4y+5 & = & 0 \\ x^2-2x +y^2-4y & = & -5 \quad\textrm{Vi kvadratkompletterar.}\\ x^2 -2x +1 +y^2-4y+4 & = & -5+1+4 \\ (x-1)^2 + (y-2)^2 & = & 0 \\ \end{array} \)

Eftersom radien har värdet 0 beskriver ekvationen en punkt i (1,2).

Exempel 3 Vad beskriver ekvationen \( x^2+y^2+2x+2y+4=0 \)?

Lösning

\( \begin{array}{rcl} x^2+y^2+2x+2y+4 & = & 0 \\ x^2+2x+y^2+2y & = & -4 \quad\text{Vi kvadratkompletterar.}\\ x^2+2x+1+y^2+2y+1 & = & -4+1+1 \\ (x+1)^2 +(y+1)^2 & = & -2 \\ \end{array} \)

Radien för en cirkel kan inte vara negativ. Vi har ingenting reellt, verkligt i det talområde som vi arbetar i.

Genom att kvadratkomplettera uttrycket \( x^2+y^2+Ax+By+C=0 \) kan vi alltid få det till \( (x-a)^2+(y-b)^2 = d \).

Beroende på \( d \) så har vi

  • \( d > 0 \) cirkel med mittpunkten (a,b)
  • \( d=0 \) en punkt i (a,b)
  • \( d < 0 \) ingenting.

Uppgifter

  1. Fyll i så att det blir rätt
    1. \( (x\underline{\qquad})^2=x^2+12x\underline{\qquad} \)
    2. \( (x\underline{\qquad})^2=x^2-16x\underline{\qquad} \)
    3. \( (x\underline{\qquad})^2=x^2+x \underline{\qquad} \)

    1. \( (x+6)^2 = x^2+12x+36 \)
    2. \( (x-8)^2 = x^2 -16x+64 \)
    3. \( (x+\dfrac{1}{2})^2 = x^2 +x+\dfrac{1}{4} \)
  2. Bestäm mittpunkt och radie för följadne cirklar.
    1. \( x^2+y^2+2x-2y-2=0 \)

      \( x^2+2x +y^2-2y = 2 \) kan vi skriva som \( (x+1)^2 + (y-1)^2 = 2 +1 +1 \Leftrightarrow (x+1)^2 + (y-1)^2 = 2^2 \). Mittpunkten är (-1,1) och radien är 2.

    2. \( x^2+y^2+6x-4y+4=0 \)

      \( x^2 +6x +y^2-4y = -4 \Leftrightarrow (x+3)^2+(y-2)^2 = -4 +9 +4 \Leftrightarrow (x+3)^2+(y-2)^2 = 3^2 \). Mittpunkten är (-3,2) och radien är 3.

    3. \( x^2 + y^2 -2x -3 = 0 \)

      \( x^2 + y^2 -2x -3 = 0 \) kan vi skriva som \( (x-1)^2 + y^2 = 3 + 1 \Leftrightarrow (x-1)^2 + y^2 = 4 \).

      Mittpunkten är \( (1,0) \) och radien är 2.

  3. Bestäm mittpunkt och radie för cirkeln som representeras av ekvationen
    1. \( x^2+y^2+2x+4y+3=0 \)

      \( x^2+2x +y^2+4y = -3 \Leftrightarrow (x+1)^2 + (y+2)^2 = -3+1+4\Leftrightarrow (x+1)^2 + (y+2)^2 = 2 \). Mittpunkt är (-1,-2) och radien \( \sqrt{2} \).

    2. \( x^2+y^2+4y+1=0 \)

      \( x^2 + y^2 +4y = -1 \Leftrightarrow x^2 +(y+2)^2 = -1+4 \Leftrightarrow x^2 +(y+2)^2 = 3 \). Mittpunkten är (0,-2) och radien är \( \sqrt{3} \).

    3. \( x^2 + y^2 -6x +4y + 8 =0 \)

      \( x^2 + y^2 -6x +4y + 8 =0 \) skriver vi som \( (x-3)^2 + (y+2)^2 = -8 + 9 + 4 \Leftrightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 5 \)

      Mittpunkten är \( (3,-2) \) och radien är \( \sqrt{5} \).

  4. Vad föreställer ekvationen \( x^2+y^2-4x-4y=-8 \).

    \( x^2-4x+y^2-4y = -8 \Leftrightarrow (x-2)^2+(y-2)^2 = -8+4+4 \Leftrightarrow (x-2)^2+(y-2)^2 = 0 \). Vi har en punkt i (2,2).

  5. Bestäm avståndet för cirkeln i \( x^2+y^2+4x+6y+9=0 \) och punkten \( (1,1) \).

    Vi börjar med att bestämma mittpunkt och radie för cirklen.

    \( x^2+4x+y^2+6y=-9 \Leftrightarrow (x+2)^2+(y+3)^2=-9+4+9 \Leftrightarrow (x+2)^2+(y+3)^2=2^2 \). Cirkeln har alltså mittpunkten \( (-2,-3) \) och radien \( 2 \).

    Avståndet mellan \( (-2,-3) \) och \( (1,1) \): \( \sqrt{(-2-1)^2+(-3-1)^2}=5 \).

    Avståndet mellan cirkeln och punkten \( (1,1) \) blir \( 5-2=3 \) l.e.

  6. Bestäm riktningskoefficienten för linjen som går genom mittpunkterna för cirklarna \( x^2+y^2+4x+6y+11=0 \) och \( x^2+y^2-4x-2y+2=0 \).

    Vi börjar med att bestämma cirklarnas mittpunkter,

    \( x^2+4x+y^2+6y=-11 \),

    \( (x+2)^2+(y+3)^2 = -11+4+9 \),

    \( (x+2)^2+(y+3)^2 = 3 \).

    Och för den andra cirkeln gäller,

    \( x^2-4x+y^2-2y=-2 \),

    \( (x-2)^2+(y-1)^2=-2+4+1 \),

    \( (x-2)^2+(y-1)^2=3 \).

    Cirklarnas mittpunkter är \( (-2,-3) \), och \( (2,1) \). Riktningskoefficienten blir \( k=\dfrac{-3-1}{-2-2} = 1 \).

  7. För vilka värden på \( a \) representerar \( x^2+y^2+ay+a=0 \) en cirkel?

    \( x^2 + (y +\dfrac{a}{2})^2 = -a +\dfrac{a^2}{4} \).

    För att vi skall ha en cirkel så skall \( -a +\dfrac{a^2}{4}>0 \)

    Vi löser olikheten \( -a +\dfrac{a^2}{4}>0 \) som har lösningarna \( a < 0 \) eller \( a>4 \).