MaA 5 Analytisk geometri

14. Ortogonalitet

När vi talar om att två linjer är ortogonala bildas de en rät vinkel mellan linjerna

Om två linjer är ortogonala så gäller för deras riktningskoefficienter att \( k_1 \cdot k_2 =-1 \). Tag och ändra på värdet för a i Geogebra applikationen nedan. För vilket värde på a gäller att vinkeln mellan linjerna är rät, 90o?

Ortogonala linjer är varandras normaler.

Exempel 1 Är linjerna \( x+2y-6=0 \) och \( 2x-y-1=0 \) ortogonala?

Lösning

Sitationen ser ut som följande:

Vi löser ekvationerna i standardform.

\( \begin{array}{rr} \textrm{Normalform} & \textrm{Standardform} \\ x+2y-6=0 & y=-\dfrac{1}{2}x+3 \\ 2x-y-1=0 & y=2x-1 \\ \end{array} \)

Om de är ortogonala så är \( k_1\cdot k_2 = -1 \).

\( -\dfrac{1}{2}\cdot 2=-1 \) så de är ortogonala, vinkelräta.

Exempel 2 Bestäm normalen för linjen \( y=2x-1 \) som går genom punkten \( (-2,4) \).

Lösning

Situationen ser ut som:

Riktningskoefficienten för \( y=2x-1 \) är 2 så alla normaler har rikningskoefficienten \( -\dfrac{1}{2} (2\cdot-\dfrac{1}{2}=-1) \).

Vi söker den linje som går genom punkten \( (-2,4) \) och vars riktningskoefficient är \( -\dfrac{1}{2} \).

Vi använder oss av enpunktsformeln \( y-y_0=k(x-x_0) \)

\( \begin{array}{rcl} y-y_0 & = & k(x-x_0) \\ y-4 & = & -\dfrac{1}{2}(x-(-2))\\ y & = & -\dfrac{1}{2}x -1+4 \\ y & = & -\dfrac{1}{2}x +3 \\ \end{array} \)

Tangentens ekvation är \( y = -\dfrac{1}{2}x +3 \).

Exempel 3 För cirkeln \( x^2+y^2=5 \) dras tangenten genom punkten \( (-1,2) \). Bestäm tangentens ekvation.

Lösning

Situationen ser ut som

Vi börjar med att bestämma riktningskoefficienten för den linje som bilas mellan origo och \( (-1,2) \). \( k=\dfrac{2-0}{-1-0}=-2 \).

Normalen till den linjen, tangenten som vi söker, har riktningskoefficienten \( k_t= \dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2} \). Tangenten går genom punkten \( (-1,2) \), och tangentens ekvation får vi via

\( \begin{array}{rcl} y-y_0 & = & k(x-x_0) \\ y-2 & = & \dfrac{1}{2}(x-(-1))\\ y & = & \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}+2 \\ y & = & \dfrac{1}{2}x+2\dfrac{1}{2} \\ \end{array} \)

Tangentens ekvation är \( y =\dfrac{1}{2}x+2\dfrac{1}{2} \).

Uppgifter

  1. Para ihop linjerna så att de är varandras normaler.

    Välj bland \( y= -3x-3 \), \( y=-2x-1 \), \( y=-\dfrac{1}{3}x+1 \), \( y=x+1 \) och \( y=3x+2 \) och \( y=7x \).

    Linje 1Linje 2
    \( y=-x+4 \)
    \( y=\dfrac{1}{2}x-5 \)
    \( y=3x+1 \)
    \( y=-\dfrac{1}{7}x-4 \)
    \( y=\dfrac{1}{3}x \)
    \( y=-\dfrac{1}{3}-1 \)

    Linje 1Linje 2
    \( y=x+1 \)\( y=-x+4 \)
    \( y=-2x-1 \)\( y=\dfrac{1}{2}x-5 \)
    \( y=-\dfrac{1}{3}x+1 \)\( y=3x+1 \)
    \( y=7x \)\( y=-\dfrac{1}{7}x-4 \)
    \( y= -3x-3 \)\( y=\dfrac{1}{3}x \)
    \( y=3x+2 \)\( y=-\dfrac{1}{3}-1 \)
  2. Para ihop rätt linjer så att vinkeln mellan dem är rät.

    Välj bland \( -2x+y+1=0 \), \( -x+y-1=0 \), \( x-2y-2=0 \) och \( 2x-y=0 \).

    Linje 1Linje 2
    \( x+y-3=0 \)
    \( 2x+y-1=0 \)
    \( x-2y+6=0 \)
    \( x+2y=14 \)

    Linje 1Linje 2
    \( -x+y-1=0 \)\( x+y-3=0 \)
    \( x-2y-2=0 \)\( 2x+y-1=0 \)
    \( -2x+y+1=0 \)\( x-2y+6=0 \)
    \( 2x-y=0 \)\( x+2y=14 \)
  3. Bestäm ekvationen för normalen till linjen \( y=3x-5 \) som går genom punkten \( (-2,3) \).

    Den linje som är vinkelrät mot \( y=3x-5 \) har riktningskoefficienten \( -\dfrac{1}{3} \). En linjens ekvation ser ut som \( y-y_0=k(x-x_0) \). Vilket ger oss normalen som \( y-3=-\dfrac{1}{3}(x+2) \) som vi skriver som \( y=-\dfrac{1}{3}x+2\dfrac{1}{3} \).

  4. Bestäm tangenten för cirkeln \( x^2+y^2=10 \) i punkten \( (3,1) \).

    Cirkelns mittpunkt är \( (0,0) \). Linjen mellan \( (0,0) \) och \( (3,1) \) är \( y=\dfrac{1}{3}x \).

    Betyder att tangentens riktningskoefficient har värdet \( -3 \) och den går genom punkten \( (3,1) \).

    Linjens ekvaiton är \( y-y_0=k(x-x_0) \) och tangenten är \( y-1=-3(x-3) \) som är \( y=-3x+10 \).

  5. För vilka värden på \( k \) är linjerna \( x+ky=1 \) och \( (k+1)x-2y+4=0 \) ortogonala?

    Vi skriver linjerna som \( y=-\dfrac{x}{k}+\dfrac{1}{k} \) och \( y=\dfrac{(k+1)}{2}x+2 \). För att linjerna skall var vinkelräta så skall produkten av riktningskoefficienterna värdet \( -1 \).

    Alltså \( \dfrac{-1}{k}\cdot\dfrac{k+1}{2}=-1 \) som har lösningen \( k=1 \).

  6. En triangels hörnpunkter är \( (-4,1) \), \( (2,-1) \) och \( (3,2) \). Visa att triangeln är rätvinklig.

    Skissa triangeln. Bestäm linjerna för triangeln och visa att två av sidorna är ortogonala.

  7. Bestäm tangenten för cirkeln \( x^2+y^2+4x+6y+8=0 \) som går genom punkten \( (-3,-5) \).

    Mittpunkten för cirkeln är \( (-2,-3) \). Vi ger tangeringspunkten koordinaterna \( (a,b) \). Det betyder att linjen genom mittpunkten och tangeringspunkten har ekvationen \( y+3=\dfrac{b+3}{a+2}(x+2) \).

    Linjen som går genom \( (-3,-5) \) och \( (a,b) \) ser ut som \( y+5=\dfrac{b+5}{a+3}(x+3) \). Vi söker de gemensamma punkterna genom att lösa ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{l} y+3=\dfrac{b+3}{a+2}(x+2)\\ y+5=\dfrac{b+5}{a+3}(x+3)\\ \end{array} \right. \)

    Från ekvationssystemet löser vi ut \( a \) och \( b \).

    Insättning i \( y+5=\dfrac{b+5}{a+3}(x+3) \) ger tangenten \( y=-\dfrac{1}{2}x-6\dfrac{1}{2} \).