MaA 5 Analytisk geometri

16. Avståndet mellan linjen och en punkt

En punkts \( (x_0,y_0) \) avstånd från en linje, \( Ax+By+C=0 \) är \( d=\dfrac{\mid Ax_0 +By_0+C\mid}{\sqrt{A^2+B^2}} \).

Exempel 1 Bestäm avståndet för punkten \( (-1,3) \) till linjen \( y=2x-3 \).

Lösning

Linjen \( y=2x-3 \) skriver vi först som \( 2x-y-3=0 \).

Avståndet \( d \) får vi som

\( \begin{array}{rl} d= & \dfrac{\mid Ax_0 +By_0+C\mid}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ = & \dfrac{\mid 2\cdot (-1)-1\cdot 3-3\mid}{\sqrt{2^2+(-3)^2}} \\ = & \dfrac{\mid -2-3-3\mid}{\sqrt{4+9}} \\ = & \dfrac{8}{\sqrt{13}} \approx 2,2\\ \end{array} \)

Avståndet mellan en punkt och en linje kan vi utnyttja för att bestämma tangenter för cirklar. Det gör vi i nästa exempel.

Exempel 2 Bestäm tangenterna till cirkeln \( (x+1)^2+(y-1)^2=4 \) som går genom punkten \( (0,-1) \).

Lösning

Sitationen ser ut som

Linjerna som går genom punkten \( (0,-1) \) är alla (förutom de som är lodräta) av typen

\( \begin{array}{rcl} y-y_0 & = & k(x-x_0) \\ y-(-1) & = & k(x-0) \\ y & = & kx-1\\ \end{array} \)

Alla tangenter ligger på avståndet 2 från mittpunkten \( (-1,1) \) (varför?). Detta utnyttjar vi och formeln för avståndet mellan en punkt och en linje.

Linjen är \( y=kx-1 \Leftrightarrow kx-y-1=0 \), avståndet är 2 och punkten är \( (-1,1) \).

\( \begin{array}{rcl} d & = & \dfrac{\mid Ax_0 +By_0+C\mid}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ 2 & = & \dfrac{\mid k(-1)-1\cdot 1 -1\mid}{\sqrt{k^2+(-1)^2}} \\ 2 & = & \dfrac{-k-2}{\sqrt{k^2+1}} \quad \mid (\quad)^2 \\ 4 & = & \dfrac{(-k-2)^2}{k^2+1} \\ 4(k^2+1) & = & k^2+4k+4 \\ 4k^2+4 & = & k^2+4k+4 \\ 3k^2 -4k & = & 0 \\ k(3k-4) & = & 0 \\ k_1=0 & \vee & 3k-4=0 \\ & & k_2=\dfrac{4}{3} \\ \end{array} \)

Tangenterna är \( y_1=-1 \) och \( y_2=\dfrac{4}{3}x-1 \).

Uppgifter

  1. Bestäm avståndet mellan linjen \( y=2x+3 \) och punkten \( (2,3) \).

    Linjens ekvation \( y=2x+3 \) skriver vi i allmän form, \( 2x-y+3=0 \).

    Avståndet är \( d=\dfrac{\mid 2\cdot2-1\cdot 3+3\mid}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}} \approx 1,79\). Om vi förlänger med \( \sqrt{5} \) får vi \( \dfrac{4\sqrt{5}}{5} \).

  2. Bestäm avståndet mellan \( 2x-3y=1 \) och punkten \( (1,1) \).

    Evkationen \( 2x-3y=1 \) skriver vi i allmän form, \( 2x-3y-1=0 \) \).

    Avståndet är \( d=\dfrac{2\cdot 1 -3\cdot 1-1 }{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\dfrac{\mid-2\mid}{\sqrt{13}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}} \).

  3. Bestäm avståndet mellan punkten \( (1,4) \) och
    1. linjen \( y=2x-3 \).

      Linjens ekvation \( y=2x-3 \) skriver vi i allmän form, \( 2x-y-3=0 \).

      Avståndet är \( d = \dfrac{\mid 2\cdot 1 -1\cdot 4-3 \mid}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{\mid-5\mid}{\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5} \).

    2. \( x \)-axeln.

      Kortaste avståndet mellan \( (1,4) \) och \( x \)-axeln är avståndet rakt ner.

      Vi har avståndet mellan \( (1,4) \) och \( (1,0) \). Detta avstånd är 4.

    3. punkten \( (4,1) \).

      Avståndet mellan två punkter är \( \sqrt{(1-4)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2} \).

  4. Bestäm avståndet mellan cirkeln \( (x+1)^2+(y-1)^2=4 \) och linjen \( y=-x-3 \).

    Avståndet mellan cirklens mittpunkt, \( (-1,1) \), och linjen, \( x+y+3=0 \), är \( d=\dfrac{\mid 1(-1)+1\cdot 1+3 \mid}{\sqrt{1^2+1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} \).

    Cirkeln har radien \( 2 \) så avståndet är \( 2-\dfrac{3}{\sqrt{2}} =\dfrac{2\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}} \) som vi kan förenka till \( \dfrac{3\sqrt{2}-4}{2} \).

  5. Bestäm de tangenter för cirkeln \( (x-4)^2+(y-2)^2=9 \) som går genom punkten \( (3,-1) \).

    De linjer som går genom punkten \( (3,-1) \) och har riktningskoefficientent \( k \) ser ut som \( y+1=k(x-3) \).

    Vi söker gemensamma punkter för linjerna och cirkeln får vi genom att lösa ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{l} (x-4)^2+(y-2)^2=9\\ y+1=k(x-3)\\ \end{array} \right. \).

    Då vi sätter in den ena ekvationen i den andra får vi \( (x-4)^2 + (kx-3k-1-2)^2 = 9 \). Det förenklar vi till \( (1+k^2)x^2 + (-6k^2 -6k-8)x +9k^2 +18 k +16 =0 \).

    Vi utnyttjar diskriminanten och vill ha en lösning, \( D = b^2-4ac \), alltså \( (-6k^2 -6k-8)^2 -4(1+k^2)(16+9k^2+18k) = 0 \) som vi förenklar till \( 4k^2 + 3k = 0 \). Lösningarna är \( k=0 \) och \( k=-\dfrac{3}{4} \).

    Tangenterna är \( y=-1 \) och \( y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4} \).

  6. Bestäm radien, \( r \) för cirkeln vars mittpunkt är i \( (-1,3) \) så att linjen \( y=2x-1 \) är en tangent för cirkeln.

    Cirkelns ekvation ser ut som \( (x+1)^2+(y-3)^2=r^2 \). Vi söker de gemensamma punkterna för cirklen och tangenten så vi får ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{l} y=2x-1\\ (x+1)^2+(y-3)^2=r^2\\ \end{array} \right. \)

    När vi kombinerar ekvationerna och kräver att vi endast skall ha en genensam punkt får vi att \( r=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \).

  7. Bestäm tangenterna för cirkeln \( (x-4)^2+(y-3)^2=16 \) som går genom punkten \( (0,1,) \).

    Tangenterna genom \( (0,1) \) ser ut som \( y=kx+1 \). Dessa tangenter skall ha gemensamma punkter med cirkeln, så vi får ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{l} (x-4)^2+(y-3)^2=16\\ y=kx+1\\ \end{array} \right. \)

    Då vi kombinerar ekvationerna så får vi att \( (k^2+1)x^2+(-8-4k)x+4=0 \). Eftersom vi skall ha en gemensam punkt för cirkeln och linjen gäller att diskriminanten har värdet 0. Vi får att \( k=-\dfrac{3}{4} \). Vi får tangenten \( y=-\dfrac{3}{4}x+1 \). Eftersom andragradsekvationen saknar en annan rot är den andra tangenten \( x=1 \).

    Tangenterna är \( x=0 \) och \( y=-\dfrac{3}{4}x+1 \).

  8. Bestäm den punktmängd vars avstånd från \( y+2=0 \) är dubbelt så långt som från linjen \( 3x-4y-1=0 \).

    Bilda två avstånd, låt dem vara lika stora och förenkla.

    En punkt i punktmängden kallar vi för \( (x,y) \).

    Då är avståndet mellan \( (x,y) \) och \( y+2=0 \): \( \dfrac{\mid y+2\mid}{1} \) och avståndet mellan \( (x,y) \) och \( 3x-4y-1=0 \) är \( \dfrac{\mid 3x-4y-1\mid}{5} \). Dessa avstånd skall förhålla sig som \( 2:1 \). Det som vi får är \( \dfrac{\mid y+2\mid}{2}=\dfrac{\mid 3x-4y-1\mid}{5} \).

    När vi utvecklar detta uttryck får vi: \( -36x^2 + 96xy - 39y^2 + 24x + 68y +96=0 \).