MaA 5 Analytisk geometri

2. Absolutbelopp

Bestäm de tal som har avståndet 2 från nollan på tallinjen. Vilka tal har ett avstånd som är mindre än 1 från nollan på tallinjen?

VIDEO

Absolutbelopp är ett sett att beteckna matematiska avstånd. Avståndet från \( -a \) och \( a \) är lika långt. Vi betecknar avståndet med \( \mid a \mid \).

Absolutbelopp definieras som

\( \mid a \mid = \left\{ \begin{array}{rl} a, & \textrm{ då } a \geq 0 \\ -a, & \textrm{ då } a < 0 \\ \end{array}\right. \)

Exempel 1 Bestäm \( \mid -3\mid \) och \( \mid \sqrt{2}-2 \mid \) .

Lösning

\( \mid -3 \mid = 3 \) eftersom avståndet för -3 till 0 är 3.

För att bestämma \( \mid \sqrt{2}-2\mid \) måste vi undersöka storleken av \( \sqrt{2}-2 \). Eftersom \( 1 < \sqrt{2} < 2 \) är \( \sqrt{2} - 2 < 0 \).

Eller så sätter vi det på räknaren, \( \sqrt{2} - 2 \approx -0,58\ldots \).

Per definition är då \( \mid \sqrt{2}-2\mid = -(\sqrt{2}-2) = -\sqrt{2}+2 \).

Egenskaper för absolutbeloppet:

EgenskapExempel
\( \mid ab\mid = \mid a \mid \mid b \mid \)\( \mid 4x \mid = 4\mid x\mid \) och \( \mid -a-b \mid = \mid -(a+b) \mid = \mid -1 \mid \mid a+b \mid = \mid a+b\mid \)
\( \mid \dfrac{a}{b} \mid = \dfrac{\mid a \mid }{\mid b \mid}, b\not=0 \)\( \mid \dfrac{-3}{a} \mid = \dfrac{\mid -3 \mid}{\mid a \mid} = \dfrac{3}{\mid a\mid} \)

Exempel 2 Skriv \( \mid x^2 -2x+1\mid \) utan absolutbeloppstecken.

Lösning

\( \mid x^2 -2x+1\mid = \mid (x-1)^2 \mid \) som alltid är positivt. Vi får då att \( \mid (x-1)^2 \mid = (x-1)^2 \).

Avståndet mellan två tal \( a \) och \( b \) på tallinjen får vi som \( \mid a-b\mid \).

Exempel 3 Bestäm avståndet mellan

  1. \( -7 \) och 98
  2. \( \sqrt{3}-1 \) och \( 2+\sqrt{3} \).

Lösning

  1. Avståndet mellan -7 och 98 är: \( \mid -7-98\mid = \mid -105\mid = 105 \).
  2. Avståndet mellan \( \sqrt{3}-1 \) och \( 2+\sqrt{3} \) är:\( \mid (\sqrt{3}-1) - (2+\sqrt{3})\mid = \mid \sqrt{3}-1 -2-\sqrt{3} \mid = \mid -3\mid = 3 \).

Uppgifter

  1. Bestäm avståndet för talet till noll på tallinjen
    1. -3

      \( \mid -3 \mid =3 \)

    2. -7

      \( \mid -7 \mid =7 \)

    3. \( 1-\pi \)

      \( \mid 1-\pi \mid = -(1-\pi)=\pi-1 \).

    4. \( -4 + \sqrt{2} \)

      \( \mid -4 + \sqrt{2} \mid = -(-4 + \sqrt{2}) = 4 - \sqrt{2} \).

    5. \( -4 +\sqrt{3} \)

      \( \mid -4 +\sqrt{3} \mid = -(-4+\sqrt{3})=4-\sqrt{3} \).

  2. Skriv utan absolutbeloppstecken
    1. \( \mid \sqrt{2}-1\mid \)

      Vi har \( 1 < \sqrt{2} < 2 \). Alltså

      \( \mid \sqrt{2}-1\mid = \sqrt{2}-1 \)

    2. \( \mid 1 -\sqrt{3} \mid \)

      Vi har \( 1 < \sqrt{3} < 2 \). Alltså

      \( \mid 1 -\sqrt{3} \mid =-(1 -\sqrt{3})=\sqrt{3}-1 \)

    3. \( \mid -2-\sqrt{2}\mid \)

      Vi har \( 1 < \sqrt{2} < 2 \). Alltså

      \( \mid -2-\sqrt{2}\mid = -(-2-\sqrt{2}) = 2+\sqrt{2} \)

  3. Förenkla och bryt ut om det är möjligt.
    1. \( \mid -4-4x\mid, x>1 \)

      \( \mid -4-4x\mid, x>1 \) får vi som \( \mid -4-4x\mid = \mid -4 \mid \cdot \mid 1+x \mid = 4 \mid 1 +x \mid \). Eftersom \( 1 +x > 0 \) då \( x > -1 \) är absolutbeloppet \( \mid 1 + x \) positivt. Alltså \( 4(1+x) \)

    2. \( \mid 4x^2-4x+1\mid \)

      Vi utnyttar det att vi kan skriva det som är innanför absolutbeloppet som en kvadrat och att en kvadrat är alltid positiv.

      \( \mid 4x^2-4x+1\mid = \mid(2x-1)^2\mid =(2x-1)^2 \)

    3. \( \mid \dfrac{x^2-1}{x-1}\mid ,x < -1 \)

      Eftersom \( x < -1 \) så gäller att \( \mid \dfrac{x^2-1}{x-1}\mid = \mid \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} \mid = \mid x+1 \mid = -(x+1)=-x-1 \).

  4. Bestäm avståndet mellan
    1. -3 och 9.

      \( \mid -3 -9 \mid = 12 \)

    2. -12 och -35

      \( \mid -12 -(-35) \mid = \mid -12 +35 \mid = \mid 23 \mid = 23 \).

    3. \( 1-a \) och \( 1+a \).

      \( \mid (1-a)-(1+a) \mid = \mid 1-a-1-a \mid = \mid -2a \mid = \mid -2 \mid\cdot \mid a \mid = 2\mid a \mid \).

    4. \( -\sqrt{2}-1 \) och \( \pi-\sqrt{2} \).

      \( \mid (-\sqrt{2}-1)-(\pi -\sqrt{2})\mid = \mid -\sqrt{2}-1-\pi + \sqrt{2}\mid = \mid -1-\pi \mid = -(-1-\pi) = \pi+1 \).

  5. Bestäm avståndet mellan
    1. \( 2u \) och \( u-1 \).

      \( \mid 2u -(u-1)\mid = \mid u +1 \mid \).

    2. \( a-\pi \) och \( b-\pi \).

      \( \mid (a-\pi)-(b-\pi) \mid = \mid a-b\mid \).

    3. \( 3a +1 \) och \( 2-a \), då \( a < \dfrac{1}{4}. \)

      \( \mid (3a+1)-(2-a) \mid = \mid 4a -1\mid \). Eftersom \( a<\dfrac{1}{4} \) så får vi att \( \mid 4a-1\mid = -(4a-1)=1-4a \).

  6. Undersök för hurdana värden på \( a\not=0 \) och \( b\not=0 \) gäller följande?
    1. \( \mid a+b \mid = \mid a \mid + \mid b\mid \)

      Då a och b har samma tecken, båda positiva eller negativa.

    2. \( \mid a-b \mid = \mid a \mid - \mid b\mid \)

      Då a och b har samma tecken och \( \mid a\mid \geq \mid b\mid \).

    3. \( \mid a+b \mid = \mid a \mid - \mid b\mid \)

      Då a och b har olika tecken och \( \mid a \mid \geq \mid b\mid \).

    4. \( \mid a-b \mid = \mid\mid a \mid - \mid b\mid\mid \)

      Då a och b har samma tecken.