MaA 5 Analytisk geometri

6. Punktmängder

Vi prickar in de punkter i ett koordinatsystem som uppfyller sambandet \( x+y=5 \).

Exempel 1 Visa att punkterna \( (0,5) \), \( (-3,4) \) och \( (-4,3) \) uppfyller ekvationen \( x^2+y^2=25 \). Vilka andra punkter uppfyller ekvationen? Vad bildar punktmängden?

Exempel 2 Ekvationen för en punktmängd är \( x^2-4x-y=0 \). Är punkterna \( (2,0) \), \( (0,0) \) och \( (2,-4) \) punkter i punktmängden? Vad bildar punktmängden?

De talpar som uppfyller en ekvation bildar punkter av grafen. Vi får reda på om punkterna är i punktmängden genom att sätta in punkterna i punktmängden.

Uppgifter

  1. Låt punktmängden vara \( xy^2-y=0 \). Är punkterna \( (-1,-1) \), \( (1,1) \) och \( (2,1) \) punkter i punktmängden?

    \( (-1,-1) \) och \( (1,1) \) är punkter för punktmängden. \( (2,1) \) är inte eftersom ekvationen inte satifieras.

  2. Försök rita punktmängden \( xy^2-y=0 \) på papper. Du kommer att behöva flera punkter en de två som du fick i uppgiften ovan.

    Punktmängden ser ut som

  3. Rita följande punktmängder på papper
    1. \( x-1=0 \)
    2. \( y+3=0 \)
    3. \( (x-1)(y+3)=0 \)

    Något i stil med

  4. Rita punktmängderna vars ekvationer är \( x^2-y^2=0 \) och \( x^2+y^2=0 \).

    Något i stil med

    Märk att \( x^2+y^2=0 \) är en punkt i origo!

  5. Rita punktmängden \( \mid x-y\mid = \mid y\mid \).

    Något i stil med

  6. Rita följande polära punktmängder.
    1. \( r \leq 2 \), och \( \theta = 45^{\circ} \)
    2. \( r = 4 \), och \( 0 \leq \theta \leq 270^{\circ} \)
    3. \( r=3 \)

    Något i stil med