MaA 5 Analytisk geometri

9. Ekvationen \( Ax + By + C = 0 \)

Vad föreställer \( 4x-2y +6=0 \)?

Ekvationen för en linje kan vi antingen uttrycka som \( Ax+By+C=0 \), \( y-y_0=k(x-x_0) \) eller som \( y=kx+b \).

  • \( Ax+By+C=0 \) kallas för linjens ekvation i allmän form.
  • \( y-y_0=k(x-x_0) \) kallas för linjens ekvation i enpunktsform.
  • \( y=kx+b \) kallas för linjens ekvation i standardform.

Exempel 1 En linje skär x-axeln i punkten 5 och har riktningskoefficienten -1. Bestäm linjens ekvation i allmän form.

Lösning

Vi börjar med att använda oss av enpunktsformen, \( y-y_0=k(x-x_0) \). Om linjen skär x-axeln i punkten 5 går den igenom punkten (5,0).

\( \begin{array}{rcll} y-y_0 & = & k(x-x_0) \\ y-0 & = & -1(x-5) \\ y & = & -x+5 & \textrm{Här har vi ekvationen i enpunktsform.}\\ x+y-5 & = & 0 & \textrm{Här har vi ekvationen i allmän form.} \\ \end{array} \)

Exempel 2 Bestäm de punkter som uppfyller villkoret \( 2x+y-4 < 0 \)?

Uppgifter

  1. Vad föreställer följande ekvationer?
    1. \( 3x+y-9=0 \)

      Linjen \( y=-3x+9 \)

    2. \( -3x+2y = 4 \)

      Linjen \( \dfrac{3}{2}x+2 \).

    3. \( 2x-y=2(x-1) \)

      Linjen \( y=2 \).

  2. Bestäm ekvationen för den linje som är parallell med \( y=-2x-5 \) och skär \( y \)-axeln i punkten \( 4 \).

    Vår linje skall ha riktningskoefficienten \( -2 \) (varför?) och gå genom punkten \( (0,4) \) (varför?).

    Linjens ekvation är \( y-y_0 =k(x-x_0) \). Vi får \( y-4=-2(x-0) \). Linjens ekvation är \( y=-2x+4 \).

  3. Visa att \( x-1=y \), \( 3x=3(y+1) \) och \( 2(y-x)=-2 \) representerar samma linje.

    Vi skriver alla ekvationer på samma sätt och jämför om vi får samma uttryck.

    \( x-1=y \Leftrightarrow y=x-1 \),

    \( 3x=3(y+1) \Leftrightarrow y=x-1 \) och

    \( 2(y-x)=-2 \Leftrightarrow y=x-1 \). Alla uttryck representerar samma linje \( y=x-1 \).

  4. Bestäm de punkter som uppfyller villkoret \( x-y>1 \).

    Vi skriver först uttrycket som \( y < x-1 \). Vi ritar utnyttjar linjen \( y=x-1 \) för att svara på frågan.

    Vi får

    Området är där y är mindre än x-1.

  5. Bestäm de punkter som uppfyller villkoret \( 2x < y-1 \).

    Vi skriver uttrycket som \( y > 2x+1 \) och ritar linjen \( y=2x+1 \). Vi får

    y skall var större än \( 2x+1 \).

  6. Bestäm de punkter som uppfyller villkoret \( \mid x +y \mid < 2 \). Dela upp absolutbeloppet för att komma vidare.

    Genom att dela upp absolutbeloppet får vi olikheterna \( x+y < -2 \) och \( x+y < 2 \) (varför?). De skall gälla samtidigt. Alltså