MaG Tal och talföljder

Extra: 10. Relationer

Vi kan även se funktioner som något abstraktare än vad vi gjorde i de två senaste kapitlen.

Tänk dig en grupp personer går förbi en person. Den stillastående personen delar in gruppen i kvinnor och män. Här fungerar personen som delar in gruppen som en funktion.

I exemplet ovan är hela gruppen definitionsmängden. Värdemängden består av två kategorier, kvinnor och män.

Matematiskt beskriver vi det som nedan.

Om du känner för att läsa mera om funktioner är artikeln på Wikipedia riktigt bra.

I matematiken talar vi om att olika funktioner har olika egenskaper. Vi talar om injektivitet, surjektivitet och bijektivitet. Vi kallar nedan definitionsmängden för \(X\) och värdemängden för \(Y\).

Injektivitet

En injektiv funktion är en funktion där varje element i definitionsmängden får ett unikt par i värdemängden.

InjektivInte injektivInjektiv

Matematiskt skriver vi det som \[\forall x_1,x_2 \in X, \quad f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2.\]

Surjektivitet

En surjektiv funktion är en funktion där alla element i värdemängden används.

SurjektivSurjektivInte surjektiv

Matematiskt skriver vi det som \[\forall y \in Y, \exists x \in X, \quad f(x)=y.\]

Bijektivitet

Om en funktion är injektiv och surjektiv säger vi att den är bijektiv. Bijektiva funktioner har inversa funktioner, mera om detta kommer i senare kurser. Inversa funktioner och inversa tal har samma egenskaper.

BijektivInte bijektivInte bijektiv

Uppgifter

  1. Kombinera så att det blir rätt.

    Välj bland följande påståenden: Bijektivitet, Injektivitet och Surjektivitet.

    Korrekt svar
    Varje element i definitionsmängden får ett eget par i värdemängden.
    Alla element i värdemängden används.
    Alla element i definitionsmängden och värdemängden används och de bildar unika par.

    Korrekt svar
    InjektivitetVarje element i definitionsmängden får ett eget par i värdemängden.
    SurjektivitetAlla element i värdemängden används.
    BijektivitetAlla element i definitionsmängden och värdemängden används och de bildar unika par.
  2. Beskriver grafen en funktion? Om ja, är funktionen injektiv, surjektiv eller bijektiv?
    PåståendeInjektivSurjektivBijektivInte injektiv eller surjektivIngen funktion

    PåståendeInjektivSurjektivBijektivInte injektiv eller surjektivIngen funktion