MaG Tal och talföljder

11. Potensekvationer

Hur löser vi följande ekvationer?

  1. \(x^2 = 4\)
  2. \(x^2 = 5\)
  3. \(x^3 = 5\)
  4. \(x^3 = -5\)

Lösning

Då vi löser potensekvationer arbetar vi med potenser eller rötter. Eftersom \(n \cdot \dfrac{1}{n} = 1\) utnyttjar vi detta för att lösa potensekvationer.

För allmänna rötter har vi följande samband:

Exponenten skrivs som \(\dfrac{1}{n}\)Roten skrivs som
\(\dfrac{1}{2}\)\(\sqrt{\quad}\)
\(\dfrac{1}{3}\)\(\sqrt[3]{\quad}\)
\(\dfrac{1}{4}\)\(\sqrt[4]{\quad}\)
\(\vdots\)\(\vdots\)
\(\dfrac{1}{n}\)\(\sqrt[n]{\quad}\)

Exempel 1 Lös följande ekvationer

  1. \(x^6 = 4\)
  2. \(3x^4 = 12\)

Lösning

  1. För att lösa \(x^6=4\) måste vi operera med \(\dfrac{1}{6}\) på bägge sidor, eftersom \(6 \cdot \dfrac{1}{6}=1\). Vi får att

    \(\begin{array}{rcll} x^6 & = & 4 & \mid (\,)^{\frac{1}{6}} \\ (x^6)^{\frac{1}{6}} & = & 4^{\frac{1}{6}} \\ x & = & \sqrt[6]{4}\\ \end{array}\)

  2. Vi börjar med att förenkla. Då får vi

    \(\begin{array}{rcll} 3x^4 & = & 12 & \mid /3\\ x^4 & = & 4 \end{array}\)

    För att komma vidare måste vi operera med \(\dfrac{1}{4}\) på bägge led eftersom \(4 \cdot \dfrac{1}{4} =1\). Vi får att

    \(\begin{array}{rcll} x^4 & = & 4 & \mid (\,)^{\frac{1}{4}} \\ (x^4)^{\frac{1}{4}} & = & 4^{\frac{1}{4}} \\ x & = & \sqrt[4]{4} \end{array}\)

När vi löser en potensekvation gör vi följande

  1. Höj bägge led i ekvationen med en exponentens inverterade värde, tex \(x^4\) höjs med \((\,)^{\frac{1}{4}}\) eftersom \(4\cdot \dfrac{1}{4}=1\) eller ta samma grads rot av bägge led, tex med \(x^4\) tar du \(\sqrt[4]{\quad}\).
  2. Förenkla och ta det lugnt
  3. Vid svaret funderar om du har arbetat med en jämn- eller udda potens. Jämna potenser har två lösningar, plus och minus, udda har en.

Exempel 2 Förenkla

  1. \(\sqrt[4]{16}\)
  2. \(\sqrt[6]{27}\)

Lösning

  1. Vi får

    \(\sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}}=2^{4\cdot \frac{1}{4}}=2^1 =2\).

  2. Vi får

    \(\sqrt[6]{27} =27^{\frac{1}{6}} =(3^3)^{\frac{1}{6}}= 3^{3\cdot \frac{1}{6}}= 3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\).

Exempel 3 Lös följande ekvationer:

  1. \(3^2 = 81^x\)
  2. \(16 \cdot 64^x = 256^{x-1}\).

Lösning

  1. Vi skriver 81 som \(3^4\). Då får vi

    \(\begin{array}{rcl} 3^2 & = & 81^x \\ 3^2 & = & (3^4)^x \\ 3^2 & = & 3^{4x} \\ \end{array}\)

    Eftersom vi har samma bas måste exponenterna vara samma för att ekvationen skall gälla. \(2=4x\) ger att \(x=\frac{1}{2}\).

  2. Vi använder oss av att \(16=2^4\), \(64=2^6\) och \(256=2^8\). Vi får alltså

    \(\begin{array}{rcll} 16 \cdot 64^x & = & 256^{x-1} \\ 2^4 \cdot (2^6)^x & = & (2^8)^{x-1} \\ 2^4 \cdot 2^{64x} & = & 2^{8(x-1)}\\ 2^{4+6x} & = & 2^{8(x-1)} & \textrm{ Samma bas! Undersöker exponenterna.} \\ 4+6x & = & 8(x-1) \\ 4+6x & = & 8x-8 \\ -2x & = & -12 \\ x & = & 6 \\ \end{array}\)

Uppgifter

  1. Kombinera rätt exponent med rätt rot.

    Välj bland följande: \(\dfrac{1}{7}\), \(\dfrac{1}{6}\), \(\dfrac{1}{5}\), \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{m}\) och \(\dfrac{1}{n}\).

    ExponentenRoten
    \(\sqrt{\quad}\)
    \(\sqrt[3]{\quad}\)
    \(\sqrt[4]{\quad}\)
    \(\sqrt[6]{\quad}\)
    \(\sqrt[5]{\quad}\)
    \(\sqrt[m]{\quad}\)
    \(\sqrt[7]{\quad}\)
    \(\sqrt[n]{\quad}\)

    Korrekt svar
    \(\dfrac{1}{2}\)\(\sqrt{\quad}\)
    \(\dfrac{1}{3}\)\(\sqrt[3]{\quad}\)
    \(\dfrac{1}{4}\)\(\sqrt[4]{\quad}\)
    \(\dfrac{1}{6}\)\(\sqrt[6]{\quad}\)
    \(\dfrac{1}{5}\)\(\sqrt[5]{\quad}\)
    \(\dfrac{1}{m}\)\(\sqrt[m]{\quad}\)
    \(\dfrac{1}{7}\)\(\sqrt[7]{\quad}\)
    \(\dfrac{1}{n}\)\(\sqrt[n]{\quad}\)
  2. Kombinera uttrycken i rätt ordning så att lösningen av ekvationen är logisk och korrekt.
    1. Lös \(x^3=9\)

      Korrekt svar
      \(x^3=9\)(1.)
      \(\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{9}\)(2.)
      \(x=\sqrt[3]{9}\)(3.)
    2. Lös \(x^3=8\).

      Korrekt svar
      \(x^3=8\)(1.)
      \(\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{8}\)(2.)
      \(x=\sqrt[3]{8}\)(3.)
      \(x=2\)(4.)
    3. Lös \(x^4=15\).

      Korrekt svar
      \(x^4=15\)(1.)
      \(\sqrt[4]{x^4}=\sqrt[4]{15}\)(2.)
      \(x=\sqrt[4]{15}\)(3.)
      Vi har en jämn funktion, alltså är \(x=\pm\sqrt[4]{15}\)(4.)
    4. Lös \(x^6=64\).

      Korrekt svar
      \(x^6=64\)(1.)
      \((x^6)^{\frac{1}{6}}=(64)^{\frac{1}{6}}\)(2.)
      \(x=\sqrt[6]{64}\)(3.)
      \(x=2\)(4.)
      Vi har en jämn funktion, alltså \(x=\pm 2\)(5.)
  3. Lös följande ekvationer.
    1. \(x^6 = 729\)

      Vi får att

      \(\begin{array}{rcll} x^6 & = & 729 & \mid (\,)^{\frac{1}{6}}\\ x & = & 729^{\frac{1}{6}} \\ & = & \sqrt[6]{729} = 3 \end{array}\)

      Eftersom vi har en jämn funktion är svaret \(x=\pm 3\).

    2. \(x^7 = 128\)

      \(\begin{array}{rcll} x^7 & = & 128 & \mid (\,)^{\frac{1}{7}} \\ x & = & 128^{\frac{1}{7}} \\ & = & \sqrt[7]{128} = 2\\ \end{array}\)

      Eftersom vi har en udda funktion har vi endast en rot, \(x=2\).

    3. \(x^3 = 343\)

      \(\begin{array}{rcll} x^3 & = & 343 & \mid (\,)^{\frac{1}{3}}\\ x & = & 343^{\frac{1}{3}} \\ & = & \sqrt[3]{343} = 7\\ \end{array}\)

      Eftersom vi har en udda funktion har vi endast en rot, \(x=7\).

    4. \(x^4=625\)

      \(\begin{array}{rcll} x^4 & = & 625 & \sqrt[4]{\quad} \\ x & = & \sqrt[4]{625} \\ x & = & 5\\ \end{array}\)

      Eftersom vi har en jämn funktion är \(x=\pm 5\).

    5. \(x^5= 243\)

      \(\begin{array}{rcll} x^5 & = & 243 & \mid \sqrt[5]{\quad} \\ x & = & \sqrt[5]{243} \\ x & = & 3 \end{array}\)

  4. För vilket värde på \(x\) gäller att
    1. \(x^8 = 6561\)

      \(\begin{array}{rcll} x^8 & = & 6561 & \mid (\,)^{\frac{1}{8}} \\ x & = & 6561^{\frac{1}{8}} \\ & = & \sqrt[8]{6561} = 3 \end{array}\)

      Eftersom vi har en jämn funktion har vi två rötter, \(x=\pm 3\).

    2. \(x^4 = -256\)

      Inget värde upphöjt till 4 kan vara negativt. Därför saknar ekvationen lösningar.

    3. \(x^5 = -243\)

      Eftersom vi har en udda exponent finns det lösningar för ekvationen.

      \(\begin{array}{rcll} x^5 & = & -243 & \mid (\,)^{\frac{1}{5}} \\ x & = & (-243)^{\frac{1}{5}} = -3 \\ \end{array}\)

    4. \(x^2=-81\)

      Eftersom vi har en jämn funktion kan vi inte få negativa värden.

      Ekvationen saknar lösningar.

    5. \(x^3=-125\)

      \(\begin{array}{rcll} x^3 & = & -125 & \mid \sqrt[3]{\quad} \\ x & = & \sqrt[3]{-125} \\ x & = & -5 \\ \end{array}\)

  5. Förenkla
    1. \(\sqrt[4]{3^4}\)

      \(\sqrt[4]{3^4} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}}=3^1 =3\).

    2. \(\sqrt{3^4}\)

      \(\sqrt{3^4} = (3^4)^{\frac{1}{2}}=3^{4\cdot \frac{1}{2}}=3^2 =9\).

    3. \(\sqrt[4]{81}\)

      \(\sqrt[4]{81} = 81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{ 4\cdot\frac{1}{4}} = 3^1 = 3\)

    4. \(\sqrt[8]{16}\)

      \(\sqrt[8]{16} = 16^{\frac{1}{8}} = (2^4)^{\frac{1}{8}} = 2^{ 4\cdot\frac{1}{8}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\)

    5. \(\sqrt[3]{64}\)

      \(\sqrt[3]{64} = (2^6)^{\frac{1}{3}} = 2^{6\cdot \frac{1}{3}} = 2^2 = 4\)

    6. \(\sqrt[5]{\sqrt{3}}\)

      \(\sqrt[5]{\sqrt{3}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}} =3^{\frac{1}{10}} =\sqrt[10]{3} \).

    7. Visa att \(\sqrt[3]{729} = 9\).

      \(\sqrt[3]{729} = 729^{\frac{1}{3}} = (3^6)^{\frac{1}{3}} = 3^{ 6\cdot\frac{1}{3}} = 3^2 = 9\)

  6. Lös ekvationerna och ge exakt svar.
    1. \(2x^4 = 162\)

      \(\begin{array}{rcll} 2x^4 & = & 162 & \mid /2\\ x^4 & = & 81 & \mid \sqrt[4]{\quad} \\ x & = & 3 \end{array}\)

      Eftersom vi har en jämn funktion gäller att \(x=\pm 3\).

    2. \(3x^3 = 81\)

      \(\begin{array}{rcll} 3x^3 & = & 81 & \mid /3\\ x^3 & = & 27 & \mid \sqrt[3]{\quad}\\ x & = & 3 \\ \end{array}\)

      Eftersom vi har en udda funktion gäller att \(x=3\).

    3. \(3x^6 = 2 \)

      \(\begin{array}{rcll} 3x^6 & = & 2 & \mid /3\\ x^6 & = & \frac{2}{3} & \mid (\,)^{\frac{1}{6}} \\ x & = & (\frac{2}{3})^{\frac{1}{6}}\\ \end{array}\)

      Eftersom vi har en jämn funktion är rötterna \(x=\pm(\frac{2}{3})^{\frac{1}{6}} =\sqrt[6]{\dfrac{2}{3}}\).

    4. \(\dfrac{1}{4}x^3 = 1\)

      \(\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{4}x^3 & = & 1 & \mid \cdot 4\\ x^3 & = & 4 & \mid (\,)^{\frac{1}{3}} \\ x & = & 4^{\frac{1}{3}} \\ & = & \sqrt[3]{4}\\ \end{array}\)

      Eftersom vi har en udda funktion har vi endast en rot, \(x=\sqrt[3]{4}\).

    5. \(\dfrac{2}{5}x^6 = \dfrac{2}{3}\)

      \(\begin{array}{rcll} \frac{2}{5}x^6 & = & \frac{2}{3} & \mid \cdot \frac{5}{2}\\ x^6 & = & \frac{5}{3} & \mid (\,)^{\frac{1}{6}} \\ x & = & (\frac{5}{3})^{\frac{1}{6}}\\ \end{array}\)

      Eftersom vi har en jämn funktion gäller att \(x= \pm (\dfrac{5}{3})^{\frac{1}{6}}\).

  7. Lös följande ekvationer.
    1. \(9^{x-1}=3^3\)

      \(\begin{array}{rcll} 9^{x-1} & = & 3^3 & \mid \,9=3^2\\ 3^{2(x-1)} & = & 3^2 & \\ \text{ Alltså} \\ 2(x-1) & = & 2 & \mid /2 \\ x-1 & = & 1 \\ x & = & 2 \\ \end{array}\)

    2. \(4^{x+1} -63 =1\)

      \(\begin{array}{rcll} 4^{x+1} -63 & = & 1 \\ 4^{x+1} & = & 64 & \mid \, 64=4^3 \\ 4^{x+1} & = & 4^3 \\ \text{Samma bas} \\ x+1 & = & 3 \\ x & = & 2 \\ \end{array}\)

    3. \(25^x -625=0\)

      \(\begin{array}{rcll} 25^x -625 & = & 0 \\ 25^x & = & 625 & \mid 25=5^2, 5^4 = 625\\ (5^2)^x = 5^4 \\ 5^{2x} & = & 5^4 & \mid \text{ Samma bas} \\ 2x & = & 4 \\ x & = & 2\\ \end{array}\)

    4. \((2^3)^x \cdot (4^3)^x = 64^{x-1}\)

      \(\begin{array}{rcll} (2^3)^x \cdot (4^3)^x & = & 64^{x-1} \\ 2^{3x} \cdot 4^{3x} & = & 64^{x-1} & \mid 4=2^2, 64=2^6\\ 2^{3x} \cdot (2^2)^{3x} & = & (2^6)^{x-1} \\ 2^{3x} \cdot 2^{6x} & = & 2^{6(x-1)} \\ 2^{3x+6x} & = & 2^{6x-6} & \text{ Samma bas}\\ 3x +6x & = & 6x-6 & \mid -6x\\ 3x & = & -6 & \mid /3 \\ x & = & -\frac{6}{3}=-2 \end{array}\)

    5. \(27^{x-1} \cdot 9^x = 2187\)

      \(\begin{array}{rcll} 27^{x-1} \cdot 9^x & = & 2187 & \mid 27=3^3, 9=3^2, 2187 = 3^7\\ (3^3)^{x-1} \cdot (3^2)^x & = & 3^7\\ 3^{3(x-1)} \cdot 3^{2x} & = & 3^7 \\ 3^{3(x-1)+2x} & = & 3^7 & \mid \text{ Samma bas}\\ 3(x-1)+2x & = & 7 \\ 3x-3+2x & = & 7 \\ 5x & = & 10 \\ x & = & 2\\ \end{array}\)