MaG Tal och talföljder

12. Logaritmer

Tag och beskriv talen \(2\), \(4\), \(5\), \(\sqrt{2}\) och \(\dfrac{1}{8}\) som potenser med basen 2.

Logaritmen för talet \(a\) är den exponent \(x\) som basen \(b\) måste upphöjas i för att ha samma värde som \(a\). \[a=b^x.\]

För talet 1000 gäller att logaritmen är 3 i basen 10 eftersom \(1000=10^3\).

Vi kan skriva det som \(y=b^x \Leftrightarrow x=\log_b(y)\). Där \(b\) och \(x\) är positiva och \(b\not=1\).

Till exempel är \(4^3 = 64\), det betyder att för talet 64 är logaritmen 3 i basen 4. Det kan vi skriva som \(3=\log_4 (64)\).

Logaritmer introducerades av John Napier för att göra uträkningar simplare. I dagens läge med datorer så är nyttan inte lika stor som på tidigt 1600-tal men ännu används logaritmer då vi bestämmer pH hos ämnen eller då vi bestämmer ljudstyrkan.

Bestäm logaritmen med basen 6 då

  • \(6^9\). Eftersom vi höjer talet 6 i 9 är basen 6 och exponenten 9. Logaritmen med basen 6 är 9.
  • \(216\). Talet \(216 = 6^3\). Logaritmen med basen 6 av talet 216 är 3.
  • \(1\). 1 kan vi skriva som \(1=6^0\). Logaritmen med basen 6 av talet 1 är 0.
  • \(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\). \(\dfrac{1}{\sqrt{6}}=6^{-\frac{1}{2}}\). Logaritmen med basen 6 av talet \(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\) är \(-\dfrac{1}{2}\).

När vi har logaritmer har vi vissa baser som används mera än andra. De baserna är \(2\), \(e\) och \(10\).

BasenKallas förLogaritmen betecknasAnvänds i
2Binär logaritm\(\textrm{lb}\)Dataveteskaper, informationsteknologi, fotografering, musikteori
eNaturlig logaritm\(\ln\)Naturvetenskaper (matematik, fysik, kemi), statistik, ekonomi, informationsteknologi
10Allmän logaritm\(\lg\)Logaritmiska tabeller, decibelskalan, Richterskalan, spektroskopi

Exempel 1 Bestäm \(\lg 2x-1=0\).

Lösning

Logaritmen är definierad då \(2x>0 \Leftrightarrow x>0\).

\(\lg 2x - 1=0 \Leftrightarrow \lg 2x = 1 \Leftrightarrow \lg 2x = \lg 10^1\) som ger oss att \(2x=10 \Leftrightarrow x=5\).

Uppgifter

  1. Välj rätt alternativ för logaritmen av talen i basen 3 då

    Påstående\(-7\)\(-3\)\(-1\)\(0\)\(5\)\(6\)
    \(3^5\)
    \(729\)
    \(1\)
    \(\dfrac{1}{3} \)
    \(\dfrac{1}{27} \)
    \(\dfrac{1}{3^7} \)

    Påstående\(-7\)\(-3\)\(-1\)\(0\)\(5\)\(6\)
    \(3^5\)
    \(729\)
    \(1\)
    \(\dfrac{1}{3} \)
    \(\dfrac{1}{27} \)
    \(\dfrac{1}{3^7} \)
    • \(3^5\), 5
    • \(729=3^6\), 6
    • \(1=3^0\), 0
    • \(\dfrac{1}{3} =3^{-1}\), \(-1\)
    • \(\dfrac{1}{27} =3^{-3}\), \(-3\)
    • \(\dfrac{1}{3^7} =3^{-7}\), \(-7\)
  2. Kombinera så att logaritmen med basen 5 blir rätt då

    Påstående\(-2\)\(-1\)\(0\)\(\dfrac{1}{2}\)\(3\)\(4\)
    \(625\)
    \(\sqrt{5}\)
    \(\dfrac{1}{25}\)
    \(\dfrac{1}{5}\)
    \(125\)
    \(1\)

    Påstående\(-2\)\(-1\)\(0\)\(\dfrac{1}{2}\)\(3\)\(4\)
    \(625\)
    \(\sqrt{5}\)
    \(\dfrac{1}{25}\)
    \(\dfrac{1}{5}\)
    \(125\)
    \(1\)
    • \(625=5^4\), 4
    • \(125=5^3\), 3
    • \(1=5^0\), 0
    • \(\dfrac{1}{5}=5^{-1}\), \(-1\)
    • \(\dfrac{1}{25}=5^{-2}\), \(-2\)
    • \(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\), \(\dfrac{1}{2}\)
  3. Fyll i det som saknas
    1. Då \(3^2 = 9\) gäller att logaritmen i basen [ Lucka ] av talet [ Lucka ] är [ Lucka ].

      Då \(3^2 = 9\) gäller att logaritmen i basen [ 3 ] av talet [ 9 ] är [ 2 ].

    2. Då \(5^4 = 625\) är logaritmen av talet [ Lucka ] i basen [ Lucka ] talet [ Lucka ].

      Då \(5^4 = 625\) är logaritmen av talet [ 625 ] i basen [ 5 ] talet [ 4 ].

    3. Då \(4^5 = 1024\) är logaritmen av talet [ Lucka ] i basen [ Lucka ] talet [ Lucka ].

      Då \(4^5 = 1024\) är logaritmen av talet [ 1024 ] i basen [ 4 ] talet [ 5 ].

    4. Då \(3^7 =2187\) är logaritmen av talet [ Lucka ] i basen [ Lucka ] talet [ Lucka ].

      Då \(3^7 =2187\) är logaritmen av talet [ 2187 ] i basen [ 3 ] talet [ 7 ].

  4. Fyll i det som saknas
    1. Då logaritmen i basen 5 av talet 125 är 3 gäller att [ Lucka ] \(^3 = \) [ Lucka ].

      Då logaritmen i basen 5 av talet 125 är 3 gäller att [ 5 ] \(^3 = \) [ 125 ].

    2. Då logaritmen av talet 343 i basen 7 är 3 gäller att [ Lucka ] \(^3 = \) [ Lucka ].

      Då logaritmen av talet 343 i basen 7 är 3 gäller att [ 7 ] \(^3 = \) [ 343 ].

    3. Då logaritmen i basen 2 av talet 256 är 8 gäller att [ Lucka ] \(^8 = \) [ Lucka ].

      Då logaritmen i basen 2 av talet 256 är 8 gäller att [ 2 ] \(^8 = \) [ 256 ].

    4. Då logaritmen i basen 3 av talet 243 är 5 gäller att [ Lucka ] \(^5 = \) [ Lucka ].

      Då logaritmen i basen 3 av talet 243 är 5 gäller att [ 3 ] \(^5 = \) [ 243 ].

  5. Bestäm \(x\) då
    1. \(\log_6 x=1\)

      \(\log_6 x=1 \Leftrightarrow x=6^1 = 6\)

    2. \(\log_4 x -2 =0\)

      \(\begin{array}{rcl} \log_4 x -2 & = & 0 \\ \log_4 x & = & 2 \\ x & = & 4^2 = 16 \end{array}\)

    3. \(\log_3 x+4=0\)

      \(\log_3 x+4=0 \Leftrightarrow \log_3 x = -4 \Leftrightarrow x=3^{-4} = \dfrac{1}{81}\)

    4. \(\log_5 x -4 =0\)

      \(\begin{array}{rcl} \log_5 x -4 & = & 0 \\ \log_5 x & = & 4 \\ x & = & 5^4 = 625 \end{array}\)

  6. Bestäm \(x\) då
    1. \(2\lg x = 4\)

      \(\begin{array}{rcll} 2\lg x & = & 4 & \mid /2\\ \lg x & = & 2 \\ x & = & 10^2 = 100 \\ \end{array}\)

    2. \(5\lg x =15\)

      \(\begin{array}{rcll} 5\lg x & = & 15 & \mid /5\\ \lg x & = & 3 \\ x & = & 10^3 = 1000 \end{array}\)

    3. \(2\log_2 x-1=0\)

      \(2\log_2 x-1=0 \Leftrightarrow 2\log_2 x = 1 \Leftrightarrow \log_2 x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

    4. \(3\log_3 x=-2\)

      \(3\log_3 x=-2 \Leftrightarrow \log_3 x = -\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x= 3^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}}\)

  7. Bestäm basen då
    1. \(\log_a 9 = 2\)

      \(a=3\) eftersom \(9=3^2\).

    2. \(\log_a 81 = 4\)

      \(a=3\) eftersom \(81 = 3^4\).

    3. \(\log_a 625 = 4\)

      \(a=5\) eftersom \(625 = 5^4\)

    4. \(\log_a 1024 = 5\)

      \(a=4\) eftersom \(1024 = 4^5\).

    5. \(\log_a 343 =3\)

      \(a=7\) eftersom \(343 = 7^3\).