MaG Tal och talföljder

13. Beräkning med logaritmer

När vi räknar med logaritmer använder vi oss av följande formler:

  • \(\log_a x^r = r\cdot \log_a x\)
  • \(\log_a xy = \log_a x + \log_a y\)
  • \(\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\)

där det gäller att \(x, y >0\).

Exempel 1

Vi kan skriva

  • \(\log_4 5^2 = 2\log_4 5\),
  • \(\log_3 14 = \log_3 (7\cdot 2) = \log_3 7 +\log_3 2\) och
  • \(\log_5 12 - \log_5 4 =\log_5 \dfrac{12}{4} =\log_5 3\).

Motivering

Vi antar att \(s=\log_a x\). Enligt definitionen på logarimer gäller då att \(x=a^s\).

Då gäller att \(x^r= (a^s)^r=a^{rs}\).

Alltså logaritmen med basen \(a\) av talet \(x^r\) är \(rs\).

Med andra ord \(\log_a x^r = r\log_a x\).

På motsvarande sätt kan vi genom att utnyttja potensregler som \(a^r\cdot a^s=a^{r+s}\) och att \(\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\) bestämma produkten och kvoter för logaritmer.

Vidare har vi att \(\log_a x =r\) och att \(\log_a y =s\). Per definition betyder det att \(x=a^r\) och att \(y=a^s\).

Med andra ord, \(xy=a^r\cdot a^s = a^{r+s}\).

Alltså logaritmen med basen \(a\) för talet \(xy\) är \(r+s\).

Med andra ord, \(\log_a xy = \log_a x + \log_a y\).

Och för kvoten gäller att \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\).

Logaritmen med basen \(a\) för talet \(\dfrac{x}{y}\) är \(r-s\).

Med andra ord, \(\log_a \dfrac{x}{y}=\log_a x - \log_a y\).

Exempel 2 Bestäm \(\log_3 12 - \log_3 8 + \log_3 6\).

Lösning

\(\log_3 12 - \log_3 8 + \log_3 6 = \log_3 (\dfrac{12}{8}) + \log_3 6 = \log_3 (\dfrac{12\cdot6}{8}) =\log_3 9= \log_3 3^2 = 2\log_3 3 = 2\cdot 1=2\)

Exempel 3 Lös ekvationen \(\lg 2x - \lg(x-5)=1\).

Lösning

Logaritmerna är definierade då \(2x>0 \Leftrightarrow x>0\) och då \(x-5>0 \Leftrightarrow x>5\).

\(\lg 2x - \lg(x-5)=1 \Leftrightarrow \lg\dfrac{2x}{x-5} = 1 \Leftrightarrow \lg\dfrac{2x}{x-5} = \lg 10^1\) som ger oss att

\(\begin{array}{rcll} \dfrac{2x}{x-5} & = & 10 & \mid \cdot (x-5)\\ 2x & = & 10(x-5) \\ 2x & = & 10x -50 \\ -8x & = & -50 \\ x & = & \dfrac{-50}{8} = 6\dfrac{1}{4} \end{array}\)

Eftersom \(6\dfrac{1}{4}\) är större än 5 duger roten.

Exempel 4 Förenkla \(\log \dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{2}\log b\).

Lösning

Beteckningen \(\log\) betyder att basen kan ha vilket värde som helst bara den är positiv och olika ett.

\(\log \dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{2}\log b = \log a -\log \sqrt{2} + \log b^{\frac{1}{2}} = \log a - \log b^{\frac{1}{2}} + \log b^{\frac{1}{2}} = \log a\).

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \(\log_4 12- \log_4 2\)

      \(\log_4 12- \log_4 2= \log_4 \dfrac{12}{2} = \log_4 6\).

    2. \(\log_3 8+ \log_3 2\)

      \(\log_3 8+ \log_3 2= \log_3 16\)

    3. \(\log_2 64 - \log_2 4\)

      \(\log_2 64 - \log_2 4= \log_2 \dfrac{64}{4} =\log_2 16 =\log_2 2^4 =4 \log_2 2 = 4\cdot 1 = 4\).

    4. \(\log_2 4+ \log_2 8\)

      \(\log_2 4+ \log_2 8= \log_2(4\cdot 8) =\log_2 2^5 = 5\log_2 2 =5\cdot 1 = 5\).

  2. Välj rätt värde för uttrycket.

    Påstående12
    \(\log_3 3\)
    \(\log_3 3^2\)
    \(\log_3 9\)
    \(\log_4 4\)
    \(\log_4 4^2\)
    \(\log_4 16\)
    \(\log_5 5\)
    \(\log_5 5^2\)
    \(\log_5 25\)
    \(\log_6 6\)
    \(\log_6 6^2\)
    \(\log_6 36\)

    Påstående12
    \(\log_3 3\)
    \(\log_3 3^2\)
    \(\log_3 9\)
    \(\log_4 4\)
    \(\log_4 4^2\)
    \(\log_4 16\)
    \(\log_5 5\)
    \(\log_5 5^2\)
    \(\log_5 25\)
    \(\log_6 6\)
    \(\log_6 6^2\)
    \(\log_6 36\)
  3. Förenkla
    1. \(\log_4 2+ \log_4 3+\log_4 5\)

      \(\log_4 2+ \log_4 3+\log_4 5 =\log_4 (2\cdot 3 \cdot 5)= \log_4 30\).

    2. \(\log_2 3+ \log_2 8 -\log_2 4\)

      \(\log_2 3+ \log_2 8 -\log_2 4= \log_2 \dfrac{3 \cdot 8}{4} = \log_2 6\).

    3. \(\log_2 6 -\log_2 3 + \log_2 2 \)

      \(\log_2 6 -\log_2 3 +\log_2 2 =\log_2 \dfrac{6}{3} + \log_2 2 = \log_2 (\dfrac{6\cdot 2}{3}) =\log_2 4 =\log_2 2^2 = 2\log_2 2 = 2\cdot 1 =2\).

    4. \(\log_4 10 -\log_4 5 +\log_4 8\)

      \(\log_4 10 -\log_4 5 +\log_4 8 = \log_4 \dfrac{10}{5} \cdot \log_4 8 = \log_4 \dfrac{10\cdot 8}{5} = \log_4 16 =\log_4 4^2 = 2\log_4 4 = 2\cdot 1 = 2\)

  4. Bestäm
    1. \(\log_3 2 - \dfrac{1}{2} \log_3 36\)

      \(\log_3 2 - \dfrac{1}{2} \log_3 36 = \log_3 2 - \log_3 36^{\frac{1}{2}} = \log_3 2 - \log_3 6 = \log_3 \dfrac{2}{6} =\log_3 \dfrac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1 \log_3 3 = -1\).

    2. \(\log\dfrac{a^2}{b}-2\log a\)

      Beteckningen \(\log\) betyder att basen kan vara vad som helst, så länge basen är positiv och olika ett.

      \(\log\dfrac{a^2}{b}-2\log a = \log a^2 -\log b -2\log a = 2\log a -\log b -2\log a = -\log b\).

  5. Lös följande ekvationer.
    1. \(\log_2 (x+1) = \log_2 (x+5) +1\)

      Logaritmerna är definierade då \(x+1 > 0 \Leftrightarrow x>-1\) och då \(x+5>0 \Leftrightarrow x>-5\).

      \(\log_2 (x+1) = \log_2 (x+5) +1 \Leftrightarrow \log_2 (x+1)-\log_2(x+5) =1 \Leftrightarrow \log_2 \dfrac{x+1}{x+5} = 1 \Leftrightarrow \log_2 \dfrac{x+1}{x+5} = \log_2 2^1\) som ger oss att \(\dfrac{x+1}{x+5}=2\) som har roten \(x=-9\).

      Eftersom roten är utanför definitionsområdet saknar ekvationen rötter.

    2. \(\log_3 (8-x)=\log_3 (x+2)+1\)

      Logaritmerna är definierade då \(8-x>0 \Leftrightarrow -x>-8 \Leftrightarrow x<8\) och \(x+2>0 \Leftrightarrow x>-2\). Logaritmerna är alltså definierade då \(-2

      \(\log_3 (8-x)=\log_3 (x+2)+1 \Leftrightarrow \log_3 \dfrac{8-x}{x+2} =1 \Leftrightarrow \log_3 \dfrac{8-x}{x+2} = \log_3 3^1\) som ger oss att

      \(\begin{array}{rcll} \dfrac{8-x}{x+2} & = & 3 & \mid \cdot (x+2)\\ 8-x & = & 3(x+2) \\ 8-x & = & 3x+6 \\ -4x & = & -2\\ x & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array}\)

  6. Lös följande ekvationer. Du får andragradsekvationer som du kan lösa på räknare.
    1. \(\log_3(x-1)+\log_3 (x-3) =1\)

      Logaritmerna är definierade då \(x-1 > 0 \Leftrightarrow x>1\) och då \(x-3>0 \Leftrightarrow x>3\). Det strängare kriteriet är att \(x>3\).

      \(\log_3(x-1)+\log_3 (x-3) =1 \Leftrightarrow \log_3 [(x-1)(x-3)] = 1 \Leftrightarrow \log_3 [(x-1)(x-3)] = \log_3 3^1\) som betyder att \((x-1)(x-3)=3\) som har rötterna \(x=0\) och \(x=4\).

      Den rot som duger är \(x=4\).

    2. \(\log_2 x + \log_2 x = 2\)

      Logaritmerna är definierade då \(x>0\).

      \(\log_2 x + \log_2 x = 2 \Leftrightarrow \log_2 x^2 = 2 \Leftrightarrow \log_2 x^2 = \log_2 2^2\) som betyder att \(x^2 =4\) som har rötterna \(x=\pm2\).

      Den rot som duger är \(x=2\).

    3. \(\log_2(4+x)+\log_2(2x)=3\)

      Vi har att \(2x>0 \Leftrightarrow x>0\).

      \(\log_2(4+x)+\log_2(2x)=3 \Leftrightarrow \log_2[(4+x)2x]=3 \Leftrightarrow \log_2 [2x(4+x)]=\log_2 2^3\).

      Vi har alltså att \(8x+2x^2=8\) som har rötterna \(x=-2\pm2\sqrt{2}\). Eftersom \(x>0\) så gäller att \(x=-2+2\sqrt{2}\).