MaG Tal och talföljder

14. Tillämpning av logaritmer

För vilka värden på \(x\) gäller att \(4^x = 7\)?

Lösning

Vi löser ekvationen genom att att vi utnyttjar logaritmen med basen 10.

\(\begin{array}{rcl} \lg 4^x & = & \lg 7 \\ x \lg 4 & = & \lg 7 \\ x & = & \dfrac{\lg 7}{\lg 4} \approx 1,40 \\ \end{array}\)

När vi löser exponentialekvationer av typen \(k^x=a\) kan vi lösa ekvationerna på två olika sätt.

För att lösa ekvationen \(k^x = a\) löser vi den på något av följande sätt:

  1. Vi utnyttjar logaritmer med basen 10. Lösningarna till ekvationen \(k^x=a\) är \(x=\dfrac{\lg a}{\lg k}\).
  2. Vi utnyttjar definitionen för logaritmer, \(\log_a x=y\) är identiskt med att \(x = a^y\).

Exempel 1 Lös ekvationen \(5^x=8\).

Lösning

Vi löser ekvationen på två olika sätt.

  1. Då \(5^x=8\) får vi att

    \(\begin{array}{rcll} 5^x & = & 8 & \mid \lg\\ \lg 5^x & = & \lg 8 \\ x \lg 5 & = & \lg 8 & \mid/\lg 5 \\ x & = & \dfrac{\lg8}{\lg 5} \approx 1,29 \end{array}\)

  2. Eller som \(5^x = 8 \Leftrightarrow x =\log_5 8 \approx 1,29\).

Om vi inte vill arbeta med logaritmer som har basen 10 så får vi att \(\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\) där \(b\) är någon bas.

Motivering

Eftersom \(\log_a x = y \Leftrightarrow x=a^y\) och \(x=a^y\) kan skrivas som \(y=\dfrac{\lg x}{\lg a}\) får vi att \(\log_a x = \dfrac{\lg x}{\lg a} = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\), där \(b\) är någon bas.

Exempel 2 På ett bankkonto sätter man in 1500 €. Banken ger en räntesats om 1,0 % per år. Efter hur många år är har summan stigit till över 2000 € då vi varje år betalar en kapitalinkomst skatt på 30 % av räntan?

Lösning

Eftersom vi varje år betalar 30 % skatt av räntan som bildas av 1,0 % så har vi en verklig ränta om \(0,70 \cdot 0,01 a = 0,007a\). Den verkliga räntan är 0,7 %.

Vi får en ekvation

\(\begin{array}{rcl} 1,007^x \cdot 1500 & > & 2000 \\ 1,007^x & > & \frac{2000}{1500}\\ \lg 1,007^x & > & \lg \frac{4}{3} \\ x \lg 1,007 & > & \lg \frac{4}{3} \\ x & > & \dfrac{\lg \frac{4}{3}}{\lg 1,007} \approx 41,24 \text{ år} \\ \end{array}\)

Efter 42 år.

Uppgifter

  1. För vilka värden på \(x\) gäller följande. Svar med två decimalers noggrannhet.
    1. \(2^x=5\)

      \(2^x=5 \Leftrightarrow x =\dfrac{\lg 5}{\lg 2} \approx 2,32\).

    2. \(3^x= 7\)

      \(x = \log_3 7 \approx 1,7712

    3. \(7^x=14\)

      \(7^x=14 \Leftrightarrow x =\dfrac{\lg 14}{\lg 7} \approx 1,36\).

    4. \(9^x = 5\)

      \(x= \log_9 5 \approx 0,7325

    5. \(3^x=21\)

      \(3^x=21 \Leftrightarrow x =\dfrac{\lg 21}{\lg 3} \approx 2,77\).

  2. Vi placerar 1500 € så att den årliga av kastningen är 7,0 %. Efter hur många år har kapitalet ökat till 2500 € då vi varje år betalar en skatt på kapitalinkomster om 30 %?

    Den verkliga räntan är \(0,07 \cdot 0,70\). Vi får ekvationen \((1+0,07\cdot 0,70)^n \cdot 1500 = 2500\) som har lösningen \(n=10,68\). Alltså 11 år.

  3. Befolkningsökningen var som störst i Finland efter andra världskriget. 1950 var befolkningsmängden 4,03 miljoner och befolkningstillväxten var 1,0 %. Om befolkningstillväxten skulle ha varit konstant 1,0 % efter 1950, när skulle befolkningsmängden överskrida år 2015 befolkningsmängd på 5,47 miljoner?

    Vi har ekvationen \(1,01^x \cdot 4,03 = 5,47\) som vi kan skriva som \(x=\dfrac{\lg\frac{5,47}{4,03}}{\lg 1,01} \approx 30,70\) år.

    År 1950 + 30 = 1980.

  4. Med överfiske menar man att man fiskar mera fisk än vad fiskstammen förökar sig. Det betyder att antalet fiskar i stammen minskar. Man talar om att alla fiskarter på jorden kommer att krascha inom 50 år. Då en fiskstam kraschar betyder det att antalet fiskar minskar med 10 % från vad det har varit som mest.

    Vi tänker oss följande. En fiskstam har sin största population, antal, just nu. Om 50 år har fiskstammen kraschat med 10 %. Vad är den årliga procentuella minskningen?

    Svara med två decimalers noggrannhet.

    Vi betecknar procenten med \(p\) och antalet med \(a\).

    Då får vi ekvationen \(p^{50} a=0,90a\) som har lösningen \(p=0,9978950083\).

    Den årliga procentuella minskningen är \(1-0,9978950083 = 0,0021049917\). Alltså 0,21 %

  5. Ett företag strävar till att öka omsättningen med 60 % under 10 år.

    Beteckna omsättningen med \(a\). Om omsättningen skall öka med 60 % är den nya omsättningen 1,6\(a\)

    1. Hur många procent skall omsättningen öka varje år? Svara med två decimaler.

      Omsättningen i början är \(a\) och den procentuella ökningen betecknar vi \(p\). vi får ekvationen \(p^{10}\cdot a = 1,6 a\) som har lösningen \(p=\sqrt[10]{1,6} \approx 1,04812\) som betyder att den årliga ökningen skall vara \(1,04812-1 = 0,04812\) som är 4,81 %.

    2. Om hur många år har omsättningen fördubblats?

      Vi betecknar omsättningen med \(a\), \(n\) antal år och får ekvationen \(1,0481^n \cdot a = 2a\) som har lösningen \(n = \dfrac{\lg 2}{\lg 1,0481} \approx 14,75\).

      Alltså 15 år.

  6. Varje år fördubblas antalet råttor i en storstad. Hur många år tar det för antalet råttor att bli 100 falt?

    Vi betecknar antal råttor med \(a\). Vi får ekvationen \(2^n\cdot a=100 a\) som har lösningen \(n=\dfrac{\lg 100}{\lg 2} \approx 6,64\).

    Alltså 7 år.

  7. Radioaktiva material har en naturligt sönderfall som kallas för halveringstid. Halveringstiden betyder att antalet aktiva, radioaktiva kärnor minskar med hälften. Halveringstiden för kol 11 som används i PET skanning har en halveringstid på 20,5 minuter. Efter hur många minuter har aktiviteten sjunkit till en 100-del av vad den var i början?

    Vi betecknar antalet radioaktiva kärnor med \(a\). Efter första halveringen har vi \(0,50a\) kvar, efter andra halveringen har vi \(0,50^2\cdot a\) kvar.

    Vi söker antalet halveringar som behövs genom att lösa ekvationen \(0,50^n \cdot a = \dfrac{a}{100}\) som har lösningen \(n=\dfrac{\lg\frac{1}{100}}{\lg 0,50} \approx 6,6438\) halveringar.

    Varje halvering tar 20,5 minuter som betyder att den totala tiden är \(20,5 \text{ minuter } \cdot 6,6438 = 136,1979\) minuter.