10. Potenser, rötter, logaritmer och summor

Lös ekvationerna

  1. \(4^{2x}=8^{x+2}\)
  2. \(2e^x -2e^{-x}+3=0\)
  1. Bestäm basen \(x\) då \(\log_x 8 = \frac{3}{2}\).
  2. Förenkla uttrycket \(e^{2\ln x}-2x^2\). [V07, 2c]

Lös ekvationerna

  1. \(4\log_2 x = \log_2 4x+4\)
  2. \((f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)\) då \(f(x)=\ln x\) och \(g(x)=x-1\)

Formler för logarimer:

  • \(\log_a x=y \iff a^y = x\) (\(a =\) bas, \(a > 0 \not=1\) och \(x>0\))
  • \(\log xy = \log x + \log y\)
  • \(\log \frac{x}{y} = \log x – \log y\)
  • \(\log x^r = r \log x\)
  • \(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)
  1. Bestäm \(n\) då \(\sum_{k=1}^n \lg \frac{k+1}{k} = 5\).
  2. Beräkna \(\lim_{n \to \infty} a_n\) då \(a_n=\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[8]{5}\cdot \ldots \cdot\sqrt[2^n]{5}\).
  1. Beräkna summan av alla positiva tresiffriga tal som är delbara med 11.
  2. Man beräknar att jordens kända oljefyndigheter med nuvarande förbrukning räcker i 40 år. Hur lång tid räcker oljan om man varje år kunde minska förbrukningen med 1,5 %?

Uppgifter

  1. Förenkla uttrycket följande uttryck
    1. \(^3\sqrt{a}(^3\sqrt{a^2}-^3\sqrt{a^5})\). [H00, 1]
    2. \(\lg (xy^2) – 2\log y\). [V06, 2]
  2. Vilket heltal \(n\) satisfierar ekvationen \(5^n + 5^n + 5^n +5^n +5^n = 5^{25}\)? [H08, 2]
  3. Lös ekvationen \(9^x-2\cdot 3^x -3=0\).

  4. Lös ekvationen \(2\log_2 (x+1)=\log_2(x+5)+1\).
  5. En talföljds tre första termer är \(1, 2x+1\) och \(8x\). Bestäm \(x\) och talföljdens tionde term om talföljden är
    1. aritmetisk
    2. geometrisk
  6. Talföljden \((a_n)\) är given i rekursiv form på följande sätt: \(a_1 = 2\) och \(a_n=a_{n-1} +(\frac{1}{2})^{n-1}, (n=2,3,4, \ldots)\). Bestäm den allmänna termen \(a_o\) i formen \(a_n=f(n)\) samt beräkna \(\lim_{n \to \infty} a_n\).

  7. Utan räknare

  8. Användningen av binär logaritm \(\mathrm{lb\,} x = \log_2 x\) har blivit vanlig som en följd av olika digitala tillämpningar. [H16, 3]
    1. Lös ekvationen \(\mathrm{lb\,}(x+1) – \mathrm{lb\,}(4x)=1\).
    2. För vilka värden \(n=1,2,3, \ldots\) gäller det att \(2 \leq \mathrm{lb\,} n \leq 3\)?

  9. Med räknare

    1. Vinklarna i en triangel bildar en geometrisk talföljd och storleken av en vinkel är 103o. Bestäm vinklarnas storlek i grader.

    2. Vinklarna i en triangel bilar en geometrisk talföljd och storleken av en vinkel är \(\frac{\pi}{7}\) radianer. Bestäm vinklarnas storlek i radianer.