11. Areor, rotationskroppar och sannolikheter

Antag att \(f(x)=\frac{x^2}{4}, x \geq 0\). Kurvorna \(y=f(x)\) och \(y=f^{-1}(x)\) begränsar ett område.

  1. Beräkna områdets area.
  2. Detta område roterar kring x-axeln. Bestäm den uppkomna rotationskroppens volym.

Kurvan \(y=e^x\) begränsar tillsammans med x-axeln, linjen \(x=-1\) och linjen \(x=t (t>0)\) ett område.

  1. Bestäm konstanten \(t\) då områdets area är 4.
  2. Detta område (med arean 4) roterar kring y-axeln. Bestäm den uppkomna rotationskroppens volym.

Ett spel spelas av tre lika skickliga spelare A, B och C. Var och en får en poäng för en seger och slutgiltig vinnare är den spelare, som först får tre poäng. A vinner i det första spelet, B i det andra och tredje. Vad är sannolikheten att C skall vara den slutgiltiga vinnaren? [V94, 5]

Teknologföreningens styrelse består av åtta personer, av vilka två är kvinnor. Fem styrelsemedlemmar utlottas att representera föreningen vid Hankens årsfest. Beräkna sannolikheten att

  1. exakt den ena kvinnan blir utlottad,
  2. båda kvinnorna blir utlottade.

Antag att av invånarna i Helsingfors har 6 % svenska som modersmål. Beräkna sannolikheten att av femtio godtyckligt valda helsingforsare

  1. högst två
  2. åtminstone en

har svenska som modersmål.

Ekvationen \(x^2+px+q=0\) är given. Koefficienterna \(p\) och \(q\) är två reella tal vilka båda på måfå väljs ur intervallet [0,1]. Beräkna sannolikheten att ekvationen har reella rötter.

Uppgifter

  1. Kurvan \(y=\mid\sin 2x\mid\) och linjen \(y=1\) begränsar ett område då \(\frac{\pi}{4} \geq x \geq \frac{3\pi}{4}\). Bestäm arean av detta område. [H07, 10]
  2. Då kurvan \(y=2\ln(x+1), 0 \geq x \geq e-1\), roterar kring y-axeln uppstår ett trattformat kärl. Bestäm volymen av detta kärl. Ge exakt värde och ett närmevärde med två decimaler. [V06, 9]

  3. I ett lotteri som arrangerades i förmån för en lägerskola meddelades att var 20:de lott vinner. Hur många lotter bör man köpa om man vill vinna ett pris med sannolikheten 50 %? [V04,9]
  4. På en persons väg till arbete finns det tre trafikljus som fungerar oberoende av varandra. De visar 30 %, 40% och 20% av tiden grönt för personen. Bestäm sannolikheten att personen hamnar stanna upp i trafikljus högst en gång. [H07, 8]
  5. De reella talen \(a\) och \(b\) bestäms slumpmässigt från intervallet [0,3]. Bestäm sannolikheten att \(\log_{10}(2a+3b)>1.\). [V02, 9]

  6. I ett spel kastas en tärning tre gånger. Om resultatet i första kastet inte förekommer en gång till förlorar spelaren 10 €. Om resultatet i första kastet förekommer exakt en gång till vinner spelaren 20 € och om resultatet i första kastet förekommer i de båda återstående kasten vinner spelaren 50 €. Bestäm sannolikheten för spelarens vinst och beräkna vinstens väntevärde.
  7. Med räknare

  8. En kurva K i planet bildas av de punkter \((x,y)\) vilkas avstånd till origo är lika stort som avståndet till linjen \(y=2\). [H 16, 7]
    1. Härled ekvationen för kurvan \(K\) i formen \(y=f(x)\).

    2. Beräkna arean av det begränsade planområde som ligger mellan kurvan \(K\) och \(x\)-axeln.