3. Uppgifter innehållande rottermer

Diskutera med din bänkkamrat över följande

  • När är en kvadratrot definierad?
  • Hur förenklar vi kvadratrötter, tex \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}\)?
  • Hur kvadrerar vi kvadratrötter, tex \((4\sqrt{2})^2\)?
  • Hur deriverar vi en kvadratrot, tex \(D\sqrt{x^2-1}\)?
  • Hur integrerar vi en kvadratrot, tex \(\int \sqrt{x^2-1} \mathrm{\,d}x\)?

Inledande uppgifter

  1. När är en kvadratrot definierad?

    1. När är kvadratrötterna definierade?
      Påstående \(x \geq -2\) \(x \geq -1\) \(x \geq 0\) \(x \geq 1\) \(x \geq 2\)
      \(\sqrt{x}\)
      \(\sqrt{x+1}\)
      \(\sqrt{x-1}\)
      \(\sqrt{x+2}\)
      \(\sqrt{x-2}\)
      \(\sqrt{\frac{x}{2}}\)
      \(\sqrt{\frac{x}{2}+1}\)
      \(\sqrt{\frac{x}{2}-1}\)
  2. Kombinera så att uttrycken har samma värde.

    Välj av sex följande uttryck: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}\), \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}\), \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}\), \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}\), \(\sqrt{8}\) och \(\sqrt{12}\)

    \(2\sqrt{2}\)

    \(3\sqrt{2}\)
    \(\sqrt{10}\)
    \(4\)
    \(\sqrt{15}\)
    \(2\sqrt{3}\)
  3. Kombinera rätt kvadrering med rätt värde.

    Välj bland följande uttryck: \((\sqrt{2})^2\), \((\sqrt{3})^2\), \((2\sqrt{2})^2\), \((2\sqrt{3})^2\), \((3\sqrt{2})^2\) och \((4\sqrt{2})^2\).

    32
    8
    18
    2
    3
    12
  4. Bestäm följande derivator
    1. \(D \sqrt{x}\)
    2. \(D\sqrt{x^2-1}\)
    3. \(D\sqrt{x^2+x}\)
  5. Bestäm följande integraler
    1. \(\int \sqrt{x} \mathrm{\,d}x\)
    2. \(\int \sqrt{x+1}\mathrm{\,d}x\)
    3. \(\int x\sqrt{x^2+1} \mathrm{\,d}x\)
  6. Utan räknare

    Exempel 1 Visa utan användning av närmevärden att \(x\) och \(y\) är inverterade tal om \(x=\sqrt{5-2\sqrt{6}}\) och \(y=\sqrt{2\sqrt{6}+5}\).

    Lösning

    Om \(x\) och \(y\) är inverterade tal gäller att \(x \cdot y = 1\). Alltså \(\sqrt{5-2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{2\sqrt{6}+5} = \sqrt{(5-2\sqrt{6})(2\sqrt{6}+5} = \sqrt{10\sqrt{6}+25-4\sqrt{36}-10\sqrt{6}} = \sqrt{25-4\cdot6} = \sqrt{25-24} = \sqrt{1} = 1\) .

    Alltså: \(x\) och \(y\) är varandras inverterade tal.

    Exempel 2 Visa utan att använda närmevärden att \(\sqrt{85-60\sqrt{2}}=3\sqrt{5}-2\sqrt{10}\).

    Lösning

    För en kvadratrot gäller \(\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^2=a\) och \(a,b \geq 0\). Vi betecknar \(a=85-60\sqrt{2}\) och \(b=3\sqrt{5}-2\sqrt{10}\). \(b=3\sqrt{5}-2\sqrt{10} \geq 0\) så vi börjar räkna. 

    \(b^2 = (3\sqrt{5}-2\sqrt{10})^2 = 9\cdot 5 -12\sqrt{50}+4\cdot 10 = 85 -12\cdot5\sqrt{2} = 85-60\sqrt{2} = a\).

    Alltså \(\sqrt{85-60\sqrt{2}}=3\sqrt{5}-2\sqrt{10}\).

    Exempel 3 Lös olikheten \(\mid x-1 \mid – \sqrt{x+1}>0\).

    Lösning

    Kvadratroten ger att \(x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1\).

    \(\begin{array}{rrcll} &\mid x-1 \mid – \sqrt{x+1} &> &0 & \\ &\mid x-1 \mid &> &\sqrt{x+1} &\mid ()^2 \textrm{eftersom bägge led positiva} \\ &(x-1)^2 &> &x+1 & \\ &x^2-2x+1 &> &x+1 & \\ &x^2 -3x &> &0& \\ \textrm{Löser ekvation: }&x^2-3x &= &0 & \\ & x(x-3) & = & 0& \\ \textrm{Alltså } & x=0 & \textrm{eller} & x-3=0 \\ & & & x=3 \\ \end{array}\)

    Vi har en parabel som öppnar sig uppåt med nollställena 0 och 3.

    parabel_upp.png

    Och när vi jämför med när roten är definierad får vi svaret \(-1\leq x \leq 0 \) eller \(x\geq 3\).

    Exempel 4 Lös ekvationen \(x-\sqrt{43-3x}=11\).

    Lösning

    Roten är definierad då \(43-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{43}{3} = 14\frac{1}{3}\).

    \(\begin{array}{rrcll} &x-\sqrt{43-3x} &= &11 & \\ &-\sqrt{43-3x} &= &11-x & \mid (\quad)^2 \text{ då } x-11 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 11 \\ &43-3x &= &121-22x+x^2 & \\ &x^2-19x +78&= &0 & \\ &x &= &\frac{19\pm \sqrt{(-19)^2-4\cdot 1\cdot 78}}{2\cdot 1} & \\ & &= &\frac{19\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{19\pm 7}{2} & \\ \end{array}\)

    Rötterna är \(x=\frac{19-7}{2}=6\) och \(x=\frac{19+7}{2}=13\).

    Alltså \(x= 13\).

    Lös dessa uppgifter utan att använda räknare.

  7. Derivera funktionen \(f(x) = 2\sqrt{x} + \frac{3}{x^2} – 4\). [V06, 2a)]
  8. Lös ekvationen \(\sqrt{x-2} = 1+ \frac{2}{\sqrt{x-2}}\). [H00, 2]
  9. Visa att värdena av uttrycken \(x^2 +1 + \sqrt{x^4+2x^2}\) och \(x^2+1 -\sqrt{x^4 + 2x^2}\) är varandras inverterade tal för alla värden på \(x\). [V88, 2]
  10. Bestäm de reella rötterna till ekvationen \(\sqrt{2-x} = x+2\). [H08, 7]
  11. Med räknare

    Exempel 1 Bestäm största och minsta värdet för uttrycket \(2x-\sqrt{1-x^2}\) [V92, 7]

    Lösning

    TI nSpire CAS

    Vi definierar funktionen på räknaren, define f(x)=2x- sqrt(1-x^2).

    Funktionen är definierad då \(1-x^2 \geq 0 \Leftrightarrow -1\leq x \leq 1\). På räknaren solve()

    Derivera funktionen och spara derivatafunktionen som \(g(x)\), define g(x)=\(\frac{d}{dx} f(x)\).

    Bestäm nollställena för derivatan, solve(g(x)=0,x). Nollstället är \(x=\frac{-2\sqrt{5}}{5}\).

    Funktionen får sitt största och minsta värde i derivatans nollställe eller i intervallets ändpunkter.

    \(f(-1)= -2\)

    \(f(\frac{-2\sqrt{5}}{5}) = -\sqrt{5} \approx -2,24\).

    \(f(1)=2\)

    Minsta värdet är \(-\sqrt{5}\) och största värdet 2.

    Exempel 2 En rektangel har en sida på x-axeln och två hörn på cirkeln \(x^2+y^2=2\) ovanför \(x\)-axeln. Bestäm rektangelns största möjliga area.

    Lösning

    TI nSpire CAS

    För att rita funktionerna på räknaren löser vi \(x^2 + y^2 =2\) som \(y = \pm\sqrt{2-x^2}\). Övre delen av cirkeln får vi genom att rita \(y=\sqrt{2-x^2}\) och cirkelns nedre del genom att rita \(y=-\sqrt{2-x^2}\).

    Rektangelns \(x\) koordinat är \(x\). \(y\)-koordinaten är \(\sqrt{2-x^2}\). \(x\) rör sig mellan \(0\) och \(2\).

    Arean för kvadraten är \(A(x)=2x \cdot \sqrt{2-x^2}\). Vi definierar den via define kommandot.

    Vi bestämmer derivatan och derivatans nollställen.

    Derivatans nollställe i intervallet \([0,2]\) är \(x=1\).

    Vi hittar största och minsta värde i derivatans nollställe eller i intervallets ändpunkter.

    Största möjliga arean är 2.

    Exempel 3 Kurvan \(y^2=x^2-x^4, x\geq 0\) begränsar ett slutet område. Beräkna områdets area. Beräkna ytterligare volymen av den rotationskropp som uppstår, då området roterar kring \(x\)-axeln.

    Lösning

    Ti nSpire CAS

    Vi skriver kurvan som \(y = \pm \sqrt{x^2-x^4}\) och plottar in bägge leden.

    Vi behöver skärningspunkterna. För att räkna dem definierar vi funktionen. Vi tar endast den övre eftersom figuren är symmetrisk.

    Våra intressanta nollställen är \(x=0\) och \(x=1\).

    Arean får vi som \(\frac{2}{3}\). Volymen som \(\frac{2\pi}{15}\).

  12. Beräkna arean av det område som begränsas av de räta linjerna \(x=0, x=2, y=0\) och kurvan \(y=\frac{3x}{\sqrt{2x^2+1}}\). [V84, 6]
  13. Bestäm funktionens \(f(x)=x+\sqrt{9-x^2}, -3\leq x \leq 3\) största och minsta värde. Rita funktionens graf. [V08, 9]