4. Uppgifter med polynom och rationella uttryck

Diskutera med din bänkkamrat över följande

  • Vad krävs för att vi kan bryta ut?
  • Vad fattas från följande uttryck \(2(\underline{\quad}) = 2x^2+4\)?
  • Hur löser vi en ekvation?
  • Vad krävs för att vi skall kunna förkorta ett kvot?
  • På vilket värde på \(a\) kan \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-a}\) förkortas?

Uppgifter

  1. Fyll i det som saknas
    1. \(3x-6= \underline{\quad}(x-2)\)
    2. \(4x^2-x =\underline{\quad}(4x-1)\)
    3. \(\)
  2. Lös följande ekvationer
    1. Uppgift
  3. För vilket värde på \(a\) kan det rationella uttrycket förkortas?
    1. Uppgift
  4. Förkorta följande rationella uttryck
    1. Uppgift
  5. Uppgift med begrepp

Utan räknare

Lös dessa uppgifter utan att använda räknare.

Exempel X Bestäm konstanten \(a\) så att polynomet \(P(x)=x^3 + ax^2 + 2ax + 8\) har faktorn \((x-2)\). Lös därefter olikheten \(P(x)\leq 0\).

Lösning

\(P(x)=x^3+ax^2+2ax+8\). Faktor \(x-2\) betyder nollställe i \(x=2\).

Alltså \(P(2)=2^3+ax^2+2a\cdot 2+8 = 0\).

Alltså \(P(x)= x^3-2x^2-4x+8\)

Eftersom \((x-2)\) är faktor i \(P(x)\) dividerar vi med \((x-2)\) för att faktorisera.

Division, på räknare, ger \(P(x)=(x-2)(x-4)=(x-2)(x-2)(x+2)=(x-2)^2(x+2)\)

\(P(x) \leq 0:\) då kvadraten \((x-2)^2 = 0\) eller då \((x+2)\)

\(\begin{array}{rrcll} % & (x-2)^2\leq 0 & \textrm{då }& x=2 &\\ & (x+2)\leq 0 & \textrm{då }&x\leq -2 & \\ \textrm{Alltså }x\leq -2 \textrm{ eller }x=2 \end{array}\)

2-1.png

Visa att \(a^2+b > ab + a\) då \(a>b>1\).

2-2.png

  1. Förenkla uttrycket \((1-\frac{2ab}{a^2+b^2})/(\frac{2a^2}{a^2+b^2}-1)\).

    Lösning

  2. Lös olikheten \(x-\frac{2}{x} \leq 1\).

    Lösning
  3. Lös ekvationen \(\frac{1}{x+1} – \frac{x}{2x-2} = \frac{x-2}{x^2-1}\).

    Lösning

Visa att olikheten \((1-x)^8 \geq 1-8x\) gäller för alla reella värden på \(x\). [H08, 10]

Lösning

  1. Förenkla uttrycken
    1. \(\frac{1}{a-1}(a-\frac{1}{a})\) [V03, 1c]
    2. \(\frac{x}{1-x}+\frac{x}{1+x}\) [V05, 1a]
    3. \(\frac{a+1}{a}\)
    4. \(\frac{2x}{(1-x)(1+x)}\)
  2. Lös olikheten \(x^3+x^2-x-1 < 0[/latex]
  3. [latex]x < 1 \wedge x\not=-1[/latex]

  4. Lös ekvationen [latex]\frac{5x+3}{x^2-9} – \frac{3}{x-3} = 1\)
  5. \(x=-1\)
  6. Lös olikheten \(\frac{x^2+7x+2}{x-3} > 1\)[V07, 6]
  7. \(-5 < x < -1 \vee x>3\)

    Med räknare

    Då du löser dessa uppgifter får du använda dig av räknare.

    Bestäm eventuella lokala extremvärden för funktionen \(f(x)=(2x-1)^3(x+3)^4\).

    Lösning

    Bestäm konstanterna \(A\) och \(B\) så att funktionen \(F(x)=A \ln (2+x) + B \ln (x-3)\) är en primitiv funktion (integral funktion) till funktionen \(f(x)=\frac{4x+2}{x^2-x-6}\) då \(x>3\).

    Lösning

  8. Bestäm det minsta värde av funktionen \(f(x)=(x+1)(x-3)^3\)
  9. Derivera och undersök.

  10. Visa att värdet av integralen \(\int^{2a}_a \frac{\textrm{d}x}{2x+a} \) är oberoende av värdet på \(a\) då \(a>0\).
  11. Integrera och räkna på så märker du något.

  12. Uppgift
  13. Uppgift
  14. *Uppgift
  15. *Uppgift