5. Antalet reella rötter till ekvationer

Vi går från ekvationer och olikheter till funktioner.

För vilka värden på konstanten \(a\) har ekvationen \(x^3 +ax^2 + x =0\) endast en reell rot?

3-1.png

Antag att \(f(x)=x^3 +ax^2 +ax +b\)

  1. För vilka värden på konstanten \(a\) har funktionen extremvärden?
  2. Bestäm konstanten \(a\) och \(b\) så att funktionen har extremvärdet 4 då \(x=1\).

Lösningar

För vilka värden på konstanten \(a\) har ekvationen \(x^3-3x+a=0\) tre olika stora reella rötter?

3-3bild.png Idé

3-3.png

Visa att ekvationen \(x=\cos^2 x \) har en reell rot i intervallet \(]0,1[\) och att denna är ekvationens enda reella rot.

3-4.png

Låt \(x\geq 1\). Bevisa att \(x^x -e^{x-1} \geq 0\). För vilka värden på \(x\) gäller likhet? [V04, 11]

3-5.png

Uppgifter

  1. För vilka värden på konstanten \(a\) är olikheten \(3 x^2 -4x +a > 0\) sann för alla \(x \in \mathbb{R}\)?

  2. Visa att ekvationen \(x-2\ln x =0\) saknar reella rötter. [H05, 11]

  3. Visa att \(e^x \geq x+1\) för alla värden på \(x\).

  4. Visa att \(\ln(2x-3) \leq 2x -4\) då \(x > \frac{3}{2}\).

  5. Visa att för alla \(x\)-värden \(\)0 < x < \frac{\pi}{3}[/latex] är [latex]\tan x < 2x[/latex]. [V70, 9] [showhide type=5t more_text="Tips" less_text="Stäng"]Undersök funktionen [latex]f(x)=\tan x -2x[/latex], då [latex] 0 < x < \frac{\pi}{3} [/latex].[/showhide] [showhide type=5 more_text="Svar" less_text="Stäng"]
    Svar

    [/showhide]

  6. Uppgift
  7. *Uppgift
  8. *Uppgift