6. Tangenter och derivata

Till kurvan \(y=\ln(2x+1)\) dras en tangent

  1. i den punkt där \(x=0\),
  2. som har riktningsvinkeln \(\frac{\pi}{4}\).

Bestäm tangentens ekvation.

4-1.png

Tvärsnittet av en rak landsvägstunnel har formen av en parabel. Tunneln är 5,0 meter hög och i markplanet är den 10,0 meter bred. Ange med en grads noggrannhet tunnelns lutning då den är som brantast.

4-2.png

Från punkten \((-3,1)\) drags tangenterna till kurvan \(y=\frac{1}{x}\). Bestäm tangenternas ekvationer

Lösning

Funktionen \(f\) är definierad i mängden av alla reella tal. I en godtycklig punkt \((x,y)\) på grafen av \(f\) har tangenten till grafen riktningskoefficienten \(k(x)=1-e^{-2x}\). Det minsta värdet av funktionen \(f\) är 2. Bestäm \(f\). [V00, 7]

Lösning

Genom punkterna \((0,1)\) dras tangenterna till cirkeln \(x^2 +y^2-4x-4y+7 =0\). Bestäm tangenternas ekvationer.

Lösning

Uppgifter

  1. Bestäm den punkt på parabeln \(y=x^2-2x-3\), där parabelns tangent har riktningsvinkeln \(+45^{\circ}\). [V04, 5]

  2. I punkten \(x=-1\) på kurvan \(y=(2x+1)^4\) dras kurvans tangent. Bestäm tangentens ekvation.

  3. Bestäm ekvationen för de tangenter till cirkeln \(x^2 + y^2 =5\) som är parallella med linjen \(2x-y=0\).

  4. En boll som kastas från två meters höjd träffar på fem meters höjd stammen av ett träd som är på fem meters avstånd. Bollens flygbana är en parabel, vars topp är mellan kastaren och trädet på två meters avstånd från trädet. Beräkna kastningsvinkeln. [V91, 6]

  5. Bestäm den funktion \(f: ]-\infty, 0[ \to \mathbb{R}\) vars graf tangerar linjen \(y=2\) och vars derivata är \(f'(x)=1+\frac{1}{x}\). [V04, 10]

  6. Utan räknare

  7. Beräkna derivatans värde i punkten \(x=2\) för funktionen \(f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}+1\).