8. Trigonometriska funktioner

Beräkna det exakta värdet av \(\sin 2x\) då \(\sin x =\frac{8}{17}\) och \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \).

En triangels vinklar \( \alpha, \beta \) och \(\gamma\) satisfierar ekvationen \(\sin \alpha \sin \beta = \cos \gamma\). Visa att triangeln är rätvinklig. [V03, 6]

Lös ekvationerna:

  1. \(2\sin 3x – \sqrt{3} =0\)
  2. \(2\cos (x+\frac{\pi}{3})=-1\)
  3. \(\tan \frac{3x}{2}=-1\)
  4. \(\sin 2x = \cos x\)
  5. \(\cos x = -\cos 5x\)
  6. \(4\sin x – 5\cos x =0\) (svar med noggrannheten 0,1o)
  7. \(2\sin^2x – 5\cos x +1=0\)

Temperaturen (oC) under ett dygn i oktober i Helsingfors kan räknas med formeln \(f(t)=4,5 – 8,5 \sin(\frac{\pi t}{12})\) där \(t\) är tiden i timmar räknat från midnatt.

  1. Ange den högsta och lägsta temperaturen under dygnet.
  2. Hur snabbt stiger eller sjunker temperaturen kl 16.00 (ge svaret med noggranheten 0,1oC/h).
  3. Vid vilket klockslag är temperaturstegringen möjligast stor?

Antag att \(f(x)=2\sin x – \cos^2x\). Bestäm funktionens största och minsta värde.

Uppgifter

  1. Antag att vi har \(\sin x =-\frac{1}{\sqrt{5}}\) och \(180^{\circ} < x < 270^{\circ}\). Bestäm \(\cos x\) och \(\tan x\). (exakta värden!) [V05, 2]

  2. För vilka värden på konstanten \(a\) har ekvationen \(\sin 3x = \frac{a-2}{2}\) lösningar? Lös ekvationen då \(a=1\).

  3. Lös ekvationerna
    1. \(2 \cos \frac{x}{2} +1 =0\)
    2. \(\cos(x-\frac{\pi}{4})=\sin x\)
  4. Lös ekvationen \(3\sin x -2 \cos^2 x =0\)
  5. Bestäm det största och det minsta värdet av funktionen \(f(x)=\sqrt{3}\sin x +\cos x\).

  6. Visa att funktionen \(f(x)=x+\sin^2x\) alltid växer.

  7. *Visa att värdet av uttrycket \(\sin^4x + \cos^4x + \frac{1}{2}\sin^2 2x\) är oberoende av värdet på x.

  8. Utan räknare

  9. Beräkna och förenkla \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x +\cos x) \mathrm{\,d}x\). [H16, 1c)]