9. Vektorer

Antag att vektorerna som utgår från toppen \(D\) i en tresidig pyramid \(ABCD\) är \(\overrightarrow{DA}=\vec a, \overrightarrow{DB}=\vec b\) och \(\overrightarrow{DC}=\vec c\) samt att \(T\) är tyngdpunkten i basytan \(ABC\). Visa att vektorn \(\overrightarrow{DT}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}\).

Antag att \(\vec a = 2\vec i -3\vec j\).

  1. Bestäm slutpunkten för vektorn \(\vec a\) om dess utgångsläge är i punkten \((-1,2)\).
  2. Bestäm en vektor som är parallell med \(\vec a\) och vars längd är 5.
  3. Skriv vektorn \(\vec a\) som summan av två vektorer så att ena komponenten är parallell med linjen \(y=x+3\) och den andra är parallell med linjen \(y=\frac{1}{2}x-1\).

Ett flygplan lyfter från punkten \((1500, 2000, 0)\) i \(xy\)-planet som representeras av horisontalplanet och lyfter rätlinjigt i riktningen \(-20\vec i+10\vec j+3\vec k\).

  1. Flyger planet genom punkten \((1100, 2200, 60)\)?
  2. I horisontalplanet representeras ekvationen \(y=-2x+200\) av en landsväg. På vilken höjd flyger planet över landsvägen? Koordinatsystemets längdenhet är 1 m. [V90, 10]

Vektorerna \(\overline{a} = t\overline{i} +2\overline{j} – 3\overline{k}\) och \(\overline{b} = 2t\overline{i} -t\overline{j} +\overline{k}\) utgår från samma punkt och utgör två närliggande sidor i en parallellogram. För vilka värden på \(t\) är parallellogrammens diagonaler vinkelräta?

Antag att \(\mid\overline{a}\mid = 1, \mid\overline{b}\mid = \sqrt{2}\) och att vinkeln mellan vektorerna \(\overline{a}-\overline{b}\) och \(3\overline{a}+2\overline{b}\) är rät. Beräkna

  1. vinkeln mellan vektorerna \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\)
  2. längden av vektorn \(\overline{a} + \overline{b}\).

Uppgifter

  1. Antag att \(\overline{a} = \overline{i} + r\overline{j}\) och \(b=3\overline{i}+\overline{j}\). Bestäm talet \(r\) då vektorerna
    1. \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) är parallella
    2. \(\overline{a} + \overline{b}\) och \(\overline{a} – \overline{b}\) är vinkelräta.
  2. Vektorerna \(\overline{a}\) och \(\overline{b}\) har motsatt riktning. Låt \(\overline{a} = \frac{3}{2}\overline{i}-2\overline{j}\) och låt vektorn \(\overline{b}\) ha längden 5. Bestäm \(\overline{b}\). Var ligger slutpunkten, om \(\overline{b}\) placeras så att den startar i \((4,3)\)? [V01, 3]
  3. Bestäm en riktningsvektor för den räta linje som går genom punkterna \(A=(2,3,6)\) och \(B=(4,-7-3)\) och bilda en parameterframställning för linjen. Bestäm skärningspunkten mellan linjen och \(xy\)-planet. [V07, 4]
  4. Antag att \(\overline{OA} = \overline{a} (\not=\overline{0}), \overline{OB} = \overline{b} (\not=\overline{0})\) och att \(\overline{OC} = \frac{2}{3}\overline{a} + \frac{1}{3}\overline{b}\). Visa att punkterna \(A, B\) och \(C\) är belägna på samma räta linje.
  5. Bestäm avståndet från punkten \((1,0,3)\) till planet \(x-y+2z-1=0\).